Calcular as integrais curvilíneas dadas usando o Teorema de Green.
\oint_{C}\left[e^{x} d x+\left(e^{y}+1\right) d y\right] onde C é o triângulo A(-1,2), B(-3,1) e C(1,0) no sentido antihorário.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\oint_{C} e^{x}\,dx + \bigl(e^{y}+1\bigr)\,dy
onde C é o triângulo de vértices A(-1,2), B(-3,1) e C(1,0) orientado no sentido anti-horário, usando o Teorema de Green.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, para um campo (P,Q) temos
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy \;=\;\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde D é a região interna de C. Aqui
P(x,y)=e^{x}, \quad Q(x,y)=e^{y}+1.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x}=0, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=0.
Logo o integrando fica
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0.

Passo 4

Como o integrando é identicamente zero em toda a região D, obtemos
\iint_{D}0\,dA=0
e, portanto,
\oint_{C}e^{x}\,dx+\bigl(e^{y}+1\bigr)\,dy=0.

Resposta

0

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