Calcular as integrais curvilíneas dadas usando o Teorema de Green.
\oint_{C}\left[e^{x} d x+\left(e^{y}+1\right) d y\right] onde C é o triângulo A(-1,2), B(-3,1) e C(1,0) no sentido antihorário.
\oint_{C}\left[e^{x} d x+\left(e^{y}+1\right) d y\right] onde C é o triângulo A(-1,2), B(-3,1) e C(1,0) no sentido antihorário.
Passo 1
O enunciado pede calcular
onde
é o triângulo de vértices
,
e
orientado no sentido anti-horário, usando o Teorema de Green.
Passo 2
Pelo Teorema de Green, para um campo
temos
onde
é a região interna de
. Aqui
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Logo o integrando fica
Passo 4
Como o integrando é identicamente zero em toda a região
, obtemos
e, portanto,