Questāo 1 (1,5 pontos) calcule o comprimento da curva
\gamma(t)=(1-\cos (t), t-\operatorname{sen}(t)), \quad t \in[0, \pi] .
\left(\right. Sugestão : \left.1-\cos (t)=2 \operatorname{sen}^{2}\left(\frac{t}{2}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva parametrizada por
\gamma(t) = \bigl(1-\cos(t),\,t-\operatorname{sen}(t)\bigr),\quad t\in[0,\pi].
O conteúdo é comprimento de curva em parametrização: vamos usar
L = \int_{0}^{\pi} \bigl\|\gamma'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Calculamos as derivadas das componentes de \gamma:
\frac{d}{dt}\bigl(1-\cos(t)\bigr) = \sin(t), \qquad \frac{d}{dt}\bigl(t-\operatorname{sen}(t)\bigr) = 1 - \cos(t).

Passo 3

A norma da velocidade é
\bigl\|\gamma'(t)\bigr\| = \sqrt{\sin^2(t) + \bigl(1-\cos(t)\bigr)^2} = \sqrt{2\bigl(1-\cos(t)\bigr)}.
Usando a sugestão 1-\cos(t)=2\operatorname{sen}^2\!\bigl(\tfrac t2\bigr), vem
\bigl\|\gamma'(t)\bigr\| = \sqrt{2\cdot 2\,\operatorname{sen}^2\!\bigl(\tfrac t2\bigr)} = 2\,\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac t2\bigr),
já que \operatorname{sen}(t/2)\ge0 em [0,\pi].

Passo 4

Substituindo no integral,
L = \int_{0}^{\pi} 2\,\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac t2\bigr)\,dt.
Fazendo u = \tfrac t2, então dt = 2\,du e u vai de 0 a \tfrac\pi2. Logo
L = 4 \int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}(u)\,du = 4\bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{\pi/2} = 4\bigl(1 - 0\bigr) = 4.

Resposta

O comprimento da curva é 4.

Exercícios relacionados