Calcular as integrais definidas.
integral-4^0 raiz16-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral-4^0raiz16 - x^2;dx
Esse tipo de integral aparece quando queremos a área sob a curva y=raiza^2-x^2, que é a parte superior de um círculo de raio a. Aqui a=4. Vamos usar substituição trigonométrica para resolver passo a passo.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 4sintheta,
então
dx = 4costheta,dtheta e raiz16 - x^2 = raiz16 - 16sin^2theta = 4costheta
Os limites em x se transformam em theta:
quando x=-4, sintheta=-1 theta=-tfracpi2;
quando x=0, sintheta=0 theta=0.

Passo 3

Substituindo tudo na integral original, obtemos
integral-4^0raiz16 - x^2;dx = integraltheta=-pi2^0 l(4costhetar)l(4costheta,dthetar) = integral-pi2^016cos^2theta;dtheta

Passo 4

Para integrar cos^2theta, usamos a identidade
cos^2theta = 1 + cos(2theta)2
Logo,
integral 16cos^2theta,dtheta = 16integral 1 + cos(2theta)2,dtheta = 8integrall(1 + cos(2theta)r),dtheta = 8l[theta + tfrac12sin(2theta)r]

Passo 5

Agora avaliamos de theta=-tfracpi2 a theta=0:
8l[theta + tfrac12sin(2theta)r]-pi2^0 = 8l((0 + 0) - l(-tfracpi2 + 0r)r) = 8cdotpi2 = 4pi

Resposta

integral-4^0raiz16 - x^2;dx = 4pi

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