Seja kL(z)=clz, & 0 <= z <= L / 2, L-z, & L / 2 <= z <= L . Resolva os problemas de valor de fronteira.
lux x+uy y=0, (x, y) in(0,2) times(0,2), u(x, 0)=0, u(x, 2)=k2(x), x in(0,2), u(0, y)=0, u(2, y)=y(y-2), y in(0,2),

Passo 1

O enunciado pede a solução de
uxx+uyy=0, (x,y)in(0,2)times(0,2)
com condições de Dirichlet
u(x,0)=0, u(x,2)=k2(x), xin(0,2),
u(0,y)=0, u(2,y)=y(y-2), yin(0,2),
onde
k2(x)= x,&0<= x<= 1, 2-x,&1<= x<= 2
O método será usar superposição de duas soluções u1 e u2, cada uma com apenas uma fronteira não nula, e em seguida separar variáveis com séries de senos.

Passo 2

Definimos
u(x,y)=u1(x,y)+u2(x,y),
onde
u1 satisfaz
u1,xx+u1,yy=0, u1(x,0)=0,;u1(x,2)=k2(x),;u1(0,y)=u1(2,y)=0,
u2 satisfaz
u2,xx+u2,yy=0, u2(x,0)=u2(x,2)=0,;u2(0,y)=0,;u2(2,y)=y(y-2)
Como o problema é linear, u=u1+u2 resolve todas as condições.

Passo 3

Para u1 usamos separação de variáveis em xin[0,2] com senos que anulam em x=0,2. Expandimos
k2(x)=sumn=1^infty Bnsin!l(tfracnpi x2r),
onde
Bn=22integral0^2k2(x)sin!l(tfracnpi x2r),dx =integral0^2k2(x)sin!l(tfracnpi x2r),dx
Cálculo do integral mostra que Bn=0 para n ímpar e, para n=2m,
B2m =2;(-1)^m+1mpi
Então a solução de Laplace que anula em y=0 e em x=0,2 e vale k2(x) em y=2 é
u1(x,y) =summ=1^inftyB2m,sinh!l(tfrac2mpi,y2r)sinh(2mpi) sin!l(tfrac2mpi,x2r) =summ=1^infty2(-1)^m+1mpi, sinh(mpi y)sinh(2mpi), sin(mpi x)

Passo 4

Para u2 expandimos a fronteira direita ymapsto y(y-2) em senos em yin[0,2]:
y(y-2)=sumn=1^infty Cnsin!l(tfracnpi y2r), Cn=integral0^2y(y-2)sin!l(tfracnpi y2r),dy
O cálculo por partes dá Cn=0 para n par e, para n=2k-1,
C2k-1=-32(2k-1)^3pi^3
A solução que anula em x=0 e em y=0,2 e vale y(y-2) em x=2 é
u2(x,y) =sumk=1^inftyC2k-1, sinh!l(tfrac(2k-1)pi x2r) sinhl((2k-1)pir) sin!l(tfrac(2k-1)pi y2r) =-32pi^3 sumk=1^infty1(2k-1)^3 sinh!l(tfrac(2k-1)pi x2r) sinhl((2k-1)pir) sin!l(tfrac(2k-1)pi y2r)

Passo 5

Somando u1 e u2 obtemos a solução geral do problema de contorno:
u(x,y)= summ=1^infty2(-1)^m+1mpi, sinh(mpi y)sinh(2mpi), sin(mpi x) ;-;32pi^3 sumk=1^infty1(2k-1)^3 sinh!l(tfrac(2k-1)pi x2r) sinhl((2k-1)pir) sin!l(tfrac(2k-1)pi y2r)

Resposta

boxed u(x,y)= summ=1^infty2(-1)^m+1mpi, sinh(mpi y)sinh(2mpi), sin(mpi x) ;-;32pi^3 sumk=1^infty1(2k-1)^3 sinh!l(tfrac(2k-1)pi x2r) sinhl((2k-1)pir) sin!l(tfrac(2k-1)pi y2r)

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