Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
f(x, y)=e^x cos (x y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y) = e^x cos(xy) . Isso envolve entender como a função muda em relação a cada uma das variáveis, x e y , mantendo a outra constante. Para isso, vamos usar regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x , ou seja, partial fpartial x .
A função é f(x, y) = e^x cos(xy) . Aqui, temos um produto de duas funções de x : e^x e cos(xy) . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de u cdot v é u' cdot v + u cdot v' .
Então, identificamos:
  • u = e^x e u' = e^x
  • v = cos(xy) e precisamos derivar v em relação a x .
Para derivar cos(xy) em relação a x , usamos a regra da cadeia. A derivada de cos(u) em relação a x é -sin(u) cdot dudx . Aqui, u = xy , então dudx = y .
Portanto, partialpartial x cos(xy) = -sin(xy) cdot y .
Agora, aplicamos a regra do produto:
partial fpartial x = e^x cdot cos(xy) + e^x cdot (-sin(xy) cdot y) = e^x cos(xy) - e^x y sin(xy)

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , ou seja, partial fpartial y .
A função continua f(x, y) = e^x cos(xy) . Aqui, e^x é tratado como uma constante em relação a y , já que não depende de y .
Então, a derivada de f em relação a y é:
partial fpartial y = e^x cdot partialpartial y cos(xy)
Para derivar cos(xy) em relação a y , usamos novamente a regra da cadeia. A derivada de cos(u) em relação a y é -sin(u) cdot dudy . Aqui, u = xy , então dudy = x .
Portanto:
partialpartial y cos(xy) = -sin(xy) cdot x
Assim, a derivada parcial fica:
partial fpartial y = e^x cdot (-sin(xy) cdot x) = -e^x x sin(xy)

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y) = e^x cos(xy) são:
partial fpartial x = e^x cos(xy) - e^x y sin(xy)
e
partial fpartial y = -e^x x sin(xy)

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