Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso envolve entender como a função muda em relação a cada uma das variáveis,
e
, mantendo a outra constante. Para isso, vamos usar regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
. Aqui, temos um produto de duas funções de
:
e
. Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Então, identificamos:
-
e -
e precisamos derivar em relação a .
Para derivar
em relação a
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
. Aqui,
, então
.
Portanto,
.
Agora, aplicamos a regra do produto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função continua
. Aqui,
é tratado como uma constante em relação a
, já que não depende de
.
Então, a derivada de
em relação a
é:
Para derivar
em relação a
, usamos novamente a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
. Aqui,
, então
.
Portanto:
Assim, a derivada parcial fica:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e