Seja kL(z)=clz, & 0 <= z <= L / 2, L-z, & L / 2 <= z <= L . Resolva os problemas de valor de fronteira.
lux x+uy y=0, (x, y) in(0,3) times(0,2), u(x, 0)=0, u(x, 2)=0, x in(0,3), u(0, y)=k2(y), u(3, y)=k2(y), y in(0,2),

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para resolver uma equação de valor de fronteira baseada na equação de Laplace, que é [u_{xx} + u_{yy} = 0). Isso está definido na região retangular . As condições de fronteira são dadas nas bordas do retângulo:
  • e para .
  • e para .
A função é definida por:
No nosso caso, será:
Vamos precisar usar a Separação de Variáveis para resolver a equação de Laplace com essas condições de fronteira.

Passo 2

Primeiro, aplicamos Separação de Variáveis à equação de Laplace. Isso significa que assumimos que a solução u(x, y) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de x e outra que depende apenas de y :
u(x, y) = X(x) cdot Y(y)
Substituindo na equação de Laplace:
uxx + uyy = X''(x)Y(y) + X(x)Y''(y) = 0
Dividindo ambos os lados por X(x)Y(y) :
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) = 0
Podemos separar as variáveis:
X''(x)X(x) = -Y''(y)Y(y) = lambda
Onde lambda é uma constante separável. Isso nos dá duas equações diferenciais ordinárias:
  1. Para X(x) :
X''(x) - lambda X(x) = 0
  1. Para Y(y) :
Y''(y) + lambda Y(y) = 0

Passo 3

Vamos resolver essas equações diferenciais. Comecemos com a equação para Y(y) :
Y''(y) + lambda Y(y) = 0
As soluções dependem do sinal de lambda :
  • Se lambda > 0 , as soluções são senos e cossenos exponenciais.
  • Se lambda = 0 , a solução é linear.
  • Se lambda < 0 , as soluções são exponenciais.
Para manter soluções não triviais e que satisfaçam condições de fronteira, assumimos lambda > 0 . Assim, podemos escrever lambda = (npi2)^2 , onde n é um número inteiro positivo.
Então, a solução para Y(y) será:
Yn(y) = sin(npi y2)
Agora, resolvemos a equação para X(x) :
X''(x) - (npi2)^2 X(x) = 0
A solução geral dessa equação é:
Xn(x) = An e^npi x2 + Bn e^-npi x2
Mas, para não termos crescimento exponencial que não é físico, consideramos apenas a parte que se ajusta às condições de fronteira.

Passo 4

A solução geral da equação de Laplace será uma soma de todas as soluções separadas:
u(x, y) = sumn=1^infty ( An e^npi x2 + Bn e^-npi x2 ) sin(npi y2)
Aplicamos agora as condições de fronteira nas laterais x=0 e x=3 :
u(0, y) = sumn=1^infty ( An + Bn ) sin(npi y2) = k2(y)
u(3, y) = sumn=1^infty ( An e^3npi2 + Bn e^-3npi2 ) sin(npi y2) = k2(y)

Passo 5

Para simplificar, vamos definir Cn = An + Bn e Dn = An e^3npi2 + Bn e^-3npi2 . Isso nos dá o sistema:
Cn = coeficientes da série de Fourier de k2(y) é
Dn = Cn
Resolvendo para An e Bn :
An = Cn e^3npi2 - Cne^3npi - 1 = Cne^3npi - 1
Bn = Cn - An e^3npi21 = Cn e^3npi - Cne^3npi - 1 = Cn e^3npie^3npi - 1

Passo 6

Agora, precisamos encontrar os coeficientes Cn usando a série de Fourier para a função k2(y) . A série de Fourier para uma função par é dada por:
k2(y) = sumn=1^infty Cn sin(npi y2)
Os coeficientes são calculados por:
Cn = 22 integral0^2 k2(y) sin(npi y2) dy = integral0^2 k2(y) sin(npi y2) dy
Como k2(y) é definida por:
k2(y) = y, & 0 <= y <= 1, 2 - y, & 1 <= y <= 2,
Vamos dividir a integral em duas partes:
Cn = integral0^1 y sin(npi y2) dy + integral1^2 (2 - y) sin(npi y2) dy

Passo 7

Resolvendo as integrais:
Primeira integral:
integral0^1 y sin(npi y2) dy
Usando integração por partes, onde u = y e dv = sin(npi y2) dy , obtemos:
= -2npi y cos(npi y2) |0^1 + 2npi integral0^1 cos(npi y2) dy
= -2npi cos(npi2) + 2npi cdot 2npi sin(npi y2) |0^1
= -2npi cos(npi2) + 4(npi)^2 sin(npi2)
Segunda integral:
integral1^2 (2 - y) sin(npi y2) dy
Fazendo a substituição z = 2 - y , temos:
= integral0^1 z sin(npi (2 - z)2) dz = integral0^1 z sin(npi - npi z2) dz
Como sin(npi - theta) = sin(theta) para n inteiro,
= integral0^1 z sin(npi z2) dz
Isso é igual à primeira integral. Portanto,
Cn = 2 ( -2npi cos(npi2) + 4(npi)^2 sin(npi2) )

Passo 8

Simplificando Cn :
Cn = -4npi cos(npi2) + 8(npi)^2 sin(npi2)
Agora, substituímos os Cn na expressão dos coeficientes An e Bn :
An = Cne^3npi - 1, Bn = Cn e^3npie^3npi - 1

Passo 9

Finalmente, a solução geral u(x, y) fica:
u(x, y) = sumn=1^infty ( Cne^3npi - 1 e^npi x2 + Cn e^3npie^3npi - 1 e^-npi x2 ) sin(npi y2)
Substituindo Cn :
u(x, y) = sumn=1^infty ( -4npi cos(npi2) + 8(npi)^2 sin(npi2) e^3npi - 1 e^npi x2 + ( -4npi cos(npi2) + 8(npi)^2 sin(npi2) ) e^3npi e^3npi - 1 e^-npi x2 ) sin(npi y2)

Resposta

A solução geral do problema de valor de fronteira é dada por:
u(x, y) = sumn=1^infty ( -4npi cos(npi2) + 8(npi)^2 sin(npi2) e^3npi - 1 e^npi x2 + -4npi cos(npi2) + 8(npi)^2 sin(npi2) e^3npi - 1 e^-npi x2 ) sin(npi y2)
Essa série representa a solução para a equação de Laplace dada com as condições de fronteira especificadas.

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