Seja . Resolva os problemas de valor de fronteira. lux x+uy y=0, (x, y) in(0,3) times(0,2), u(x, 0)=0, u(x, 2)=0, x in(0,3), u(0, y)=k2(y), u(3, y)=k2(y), y in(0,2),
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para resolver uma equação de valor de fronteira baseada na equação de Laplace, que é [u_{xx} + u_{yy} = 0). Isso está definido na região retangular . As condições de fronteira são dadas nas bordas do retângulo:
e para .
e para .
A função é definida por:
No nosso caso, será:
Vamos precisar usar a Separação de Variáveis para resolver a equação de Laplace com essas condições de fronteira.
Passo 2
Primeiro, aplicamos Separação de Variáveis à equação de Laplace. Isso significa que assumimos que a solução u(x, y) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de x e outra que depende apenas de y :
u(x, y) = X(x) cdot Y(y)
Substituindo na equação de Laplace:
uxx + uyy = X''(x)Y(y) + X(x)Y''(y) = 0
Dividindo ambos os lados por X(x)Y(y) :
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) = 0
Podemos separar as variáveis:
X''(x)X(x) = -Y''(y)Y(y) = lambda
Onde lambda é uma constante separável. Isso nos dá duas equações diferenciais ordinárias:
Para X(x) :
X''(x) - lambda X(x) = 0
Para Y(y) :
Y''(y) + lambda Y(y) = 0
Passo 3
Vamos resolver essas equações diferenciais. Comecemos com a equação para Y(y) :
Y''(y) + lambda Y(y) = 0
As soluções dependem do sinal de lambda :
Se lambda > 0 , as soluções são senos e cossenos exponenciais.
Se lambda = 0 , a solução é linear.
Se lambda < 0 , as soluções são exponenciais.
Para manter soluções não triviais e que satisfaçam condições de fronteira, assumimos lambda > 0 . Assim, podemos escrever lambda = (npi2)^2 , onde n é um número inteiro positivo.
Então, a solução para Y(y) será:
Yn(y) = sin(npi y2)
Agora, resolvemos a equação para X(x) :
X''(x) - (npi2)^2 X(x) = 0
A solução geral dessa equação é:
Xn(x) = An e^npi x2 + Bn e^-npi x2
Mas, para não termos crescimento exponencial que não é físico, consideramos apenas a parte que se ajusta às condições de fronteira.
Passo 4
A solução geral da equação de Laplace será uma soma de todas as soluções separadas: