A curva no plano dada por
gerauma superfície de revolução que é parametrizada por r(t, theta)=(tcos(theta), t sen(theta), ln (t)). Determine o domínio desta parametrização e calcule integralegral duplaS F cdot d S, onde F(x, y, z)=(x, y, 2)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma curva [C) no plano definida por:
Essa curva gera uma superfície de revolução parametrizada por:
Nosso objetivo é:
Determinar o domínio dessa parametrização.
Calcular a integral de superfície .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre parametrizações de superfícies, cálculo de integrais de superfície e o conceito de domínio de uma parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da parametrização r(t, theta) = (t cos(theta), t sin(theta), ln(t)) .
O domínio de uma parametrização são os valores dos parâmetros t e theta que fazem sentido para a definição da superfície.
Sabemos que na expressão z = ln(t) , o argumento do logaritmo, t , deve ser positivo. Portanto, t > 0 .
Além disso, a curva original tinha 1 <= x <= e . Como x = t cos(theta) e y = t sin(theta) , e y = 0 na curva original, isso significa que theta originalmente era 0 (ou pi , mas considerando x positivo, theta = 0 ).
Ao gerar a superfície de revolução, theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a volta.
Quanto a t , na curva original x vai de 1 a e , então devemos manter t nessa faixa para gerar a superfície corretamente.
Passo 3
Com isso, o domínio da parametrização é:
D = (t, theta) | 1 <= t <= e, 0 <= theta < 2pi
Isso significa que t varia de 1 a e e theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a superfície de revolução.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot dS , onde F(x, y, z) = (x, y, 2) .
Primeiro, precisamos expressar F na parametrização dada. Substituindo x = t cos(theta) , y = t sin(theta) , e z = ln(t) , temos:
F(r(t, theta)) = (t cos(theta), t sin(theta), 2)
Passo 5
Para calcular a integral de superfície, usamos a fórmula:
integral duplaS F cdot dS = integral duplaD F(r(t, theta)) cdot (rt times rtheta) , dt , dtheta
Onde rt e rtheta são as derivadas parciais de r em relação a t e theta , respectivamente, e times representa o produto vetorial.
Passo 6
Vamos encontrar rt e rtheta :
rt = (cos(theta), sin(theta), 1t)
rtheta = (-t sin(theta), t cos(theta), 0)
Passo 7
Agora, calculamos o produto vetorial rt times rtheta :
rt times rtheta = i & j & k cos(theta) & sin(theta) & 1t -t sin(theta) & t cos(theta) & 0