A curva C no plano x y dada por C:lz=ln x, 1 <= x <= e y=0
gerauma superfície de revolução que é parametrizada por r(t, theta)=(tcos(theta), t sen(theta), ln (t)). Determine o domínio desta parametrização e calcule integralegral duplaS F cdot d S, onde F(x, y, z)=(x, y, 2)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma curva [C) no plano definida por:
Essa curva gera uma superfície de revolução parametrizada por:
Nosso objetivo é:
  1. Determinar o domínio dessa parametrização.
  2. Calcular a integral de superfície .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre parametrizações de superfícies, cálculo de integrais de superfície e o conceito de domínio de uma parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da parametrização r(t, theta) = (t cos(theta), t sin(theta), ln(t)) .
O domínio de uma parametrização são os valores dos parâmetros t e theta que fazem sentido para a definição da superfície.
Sabemos que na expressão z = ln(t) , o argumento do logaritmo, t , deve ser positivo. Portanto, t > 0 .
Além disso, a curva original tinha 1 <= x <= e . Como x = t cos(theta) e y = t sin(theta) , e y = 0 na curva original, isso significa que theta originalmente era 0 (ou pi , mas considerando x positivo, theta = 0 ).
Ao gerar a superfície de revolução, theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a volta.
Quanto a t , na curva original x vai de 1 a e , então devemos manter t nessa faixa para gerar a superfície corretamente.

Passo 3

Com isso, o domínio da parametrização é:
D = (t, theta) | 1 <= t <= e, 0 <= theta < 2pi
Isso significa que t varia de 1 a e e theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a superfície de revolução.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot dS , onde F(x, y, z) = (x, y, 2) .
Primeiro, precisamos expressar F na parametrização dada. Substituindo x = t cos(theta) , y = t sin(theta) , e z = ln(t) , temos:
F(r(t, theta)) = (t cos(theta), t sin(theta), 2)

Passo 5

Para calcular a integral de superfície, usamos a fórmula:
integral duplaS F cdot dS = integral duplaD F(r(t, theta)) cdot (rt times rtheta) , dt , dtheta
Onde rt e rtheta são as derivadas parciais de r em relação a t e theta , respectivamente, e times representa o produto vetorial.

Passo 6

Vamos encontrar rt e rtheta :
rt = (cos(theta), sin(theta), 1t)
rtheta = (-t sin(theta), t cos(theta), 0)

Passo 7

Agora, calculamos o produto vetorial rt times rtheta :
rt times rtheta = i & j & k cos(theta) & sin(theta) & 1t -t sin(theta) & t cos(theta) & 0
Calculando o determinante:
rt times rtheta = ( sin(theta) cdot 0 - 1t cdot t cos(theta), 1t cdot (-t sin(theta)) - cos(theta) cdot 0, cos(theta) cdot t cos(theta) - sin(theta) cdot (-t sin(theta)) )
Simplificando:
rt times rtheta = ( -cos(theta), -sin(theta), t (cos^2(theta) + sin^2(theta)) )
Como cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1 :
rt times rtheta = ( -cos(theta), -sin(theta), t )

Passo 8

Agora, calculamos o produto escalar F(r(t, theta)) cdot (rt times rtheta) :
F cdot (rt times rtheta) = (t cos(theta), t sin(theta), 2) cdot ( -cos(theta), -sin(theta), t )
Computando o produto escalar:
t cos(theta) cdot (-cos(theta)) + t sin(theta) cdot (-sin(theta)) + 2 cdot t = -t cos^2(theta) - t sin^2(theta) + 2t
Fatorando t :
t (-cos^2(theta) - sin^2(theta) + 2) = t (-1 + 2) = t
Portanto:
F cdot (rt times rtheta) = t

Passo 9

Agora, substituímos na integral de superfície:
integral duplaS F cdot dS = integral duplaD t , dt , dtheta
Onde D = (t, theta) | 1 <= t <= e, 0 <= theta < 2pi .

Passo 10

Vamos calcular a integral dupla:
integral duplaD t , dt , dtheta = integral0^2pi integral1^e t , dt , dtheta
Primeiro, integramos em relação a t :
integral1^e t , dt = [t^22]1^e = e^22 - 12 = e^2 - 12
Agora, integramos em relação a theta :
integral0^2pi e^2 - 12 , dtheta = e^2 - 12 cdot 2pi = (e^2 - 1)pi

Resposta

A integral de superfície integral duplaS F cdot dS vale (e^2 - 1)pi .

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