Calcular as integrais definidas.
integral0^2 pi raiz1-cos ^2(x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular integral0^2piraiz1-cos^2(x),dx. Esse tipo de integral envolve manipular expressões trigonométricas e valores absolutos, pois raiz1-cos^2(x)=|sin x|. Vamos usar essa identidade e depois lidar com o valor absoluto dividindo o intervalo conforme o sinal de sin x.

Passo 2

Reescrevemos o integrando usando a identidade trigonométrica
raiz1-cos^2(x) = |sin x|

Passo 3

Analisamos o sinal de sin x no intervalo [0,2pi]:
Em [0,pi], sin x>=0 então |sin x|=sin x.
Em [pi,2pi], sin x<=0 então |sin x|=-sin x.

Passo 4

Dividimos a integral em duas partes:
integral0^2pi|sin x|,dx = integral0^pisin x,dx + integralpi^2pi(-sin x),dx
Calculando cada uma:
integral0^pisin x,dx = l[-cos xr]0^pi = l(-cospir) - l(-cos0r) = 1 + 1 = 2,
integralpi^2pi(-sin x),dx = l[cos xr]pi^2pi = cos(2pi) - cos(pi) = 1 - (-1) = 2

Passo 5

Somando as duas parcelas, obtemos
2 + 2 = 4

Resposta

4

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