Desenhe os traços das seguintes curvas, indicando o sentido de percurso:
gamma(t)=(2+e^-t, 3-e^-t) ; t >= 0

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o traço da curva paramétrica
gamma(t) = l(2 + e^-t,;3 - e^-tr), t>=0,
indicando também o sentido do percurso.
Conteúdo: curva paramétrica e eliminação de parâmetro para achar a reta/segmento, além de estudar domínio e orientação.

Passo 2

Escrevendo as coordenadas em função de t:
x(t) = 2 + e^-t, y(t) = 3 - e^-t
Aqui a ideia é ver que as duas componentes têm e^-t, então vamos usar isso pra eliminar t.

Passo 3

Defina u = e^-t. Note que, como t>=0, temos u=e^-tin(0,1].
Então
x = 2 + u ;;Longrightarrow;; u = x - 2,
e em y:
y = 3 - u = 3 - (x-2) = 5 - x
Isso mostra que o traço está na reta
y = 5 - x

Passo 4

Agora o domínio:
  • Em t=0, u=1 Rightarrow l(x,yr)=(3,2).
  • Quando tto +infty, u=e^-tto0 Rightarrow l(x,yr)to(2,3), mas nunca atinge exatamente esse ponto (é limite).
    Logo o traço é o segmento da reta y=5-x com 2 < x <= 3 (ou seja, de (3,2) até se aproximar de (2,3)).

Passo 5

Para ver o sentido de percurso:
à medida que t cresce, e^-t diminui, então x=2+e^-t diminui e y=3-e^-t aumenta.
Isso significa que o ponto parte de (3,2) (quando t=0) e vai em direção a (2,3) (quando ttoinfty).

Resposta

O traço de gamma é o segmento da reta y=5-x para 2<x<=3, orientado de (3,2) em direção a (2,3).

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