Determine se a sequência diverge ou converge, se ela converge encontre o valor do limite.
an=(-1)^n nn+1

Passo 1

O enunciado define a sequência ,an=(-1)^n,nn+1, e pede para verificar se ,an converge ou diverge. Se convergir, devemos encontrar seu limite. Vamos usar o conceito de limite de sequência e analisar o fator oscilatório (-1)^n junto com o quociente nn+1.

Passo 2

Estudamos o quociente nn+1. Dividindo numerador e denominador por n, obtemos
nn+1=11+1n
Como tfrac1nto0 quando ntoinfty, segue que nn+1to1.

Passo 3

A sequência pode ser escrita como
an = (-1)^ncdotnn+1
Como tfracnn+1to1, o comportamento assintótico de an é dado por (-1)^n. Logo consideramos as subsequências par e ímpar:
limktoinftya2k=+1, limktoinftya2k+1=-1

Passo 4

Visto que as duas subsequências convergem a limites diferentes ( +1 e -1), não existe um único valor limite para ,an. Portanto ,an não converge.

Resposta

A sequência diverge.

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