Calcular as integrais definidas.
integral2^6|x^2-3 x-4| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral2^6l|x^2-3x-4r|,dx
O conteúdo aqui é o tratamento de funções módulo em integrais: primeiro identificamos onde o polinômio muda de sinal, depois quebramos a integral nesses pontos e removemos o módulo adequadamente.

Passo 2

Encontramos as raízes de x^2-3x-4 fatorando:
x^2-3x-4 = (x-4)(x+1),
logo as raízes são x=-1 e x=4. No intervalo de integração [2,6] apenas x=4 está dentro. Testando um ponto em [2,4), por exemplo x=3, temos
3^2-3cdot3-4 = 9 - 9 - 4 = -4 < 0,
portanto x^2-3x-4 é negativo em [2,4) e positivo em (4,6].

Passo 3

Quebramos a integral em duas partes e retiramos o módulo:
integral2^6l|x^2-3x-4r|,dx =integral2^4l[-(x^2-3x-4)r],dx +integral4^6(x^2-3x-4),dx

Passo 4

Calculamos a primeira integral:
integral2^4l(-x^2+3x+4r),dx =l[-tfracx^33+tfrac3x^22+4xr]2^4
Em x=4 isso vale
-tfrac4^33+tfrac3cdot4^22+4cdot4 =-tfrac643+24+16 =tfrac563,
e em x=2 vale
-tfrac2^33+tfrac3cdot2^22+4cdot2 =-tfrac83+6+8 =tfrac343
Logo a primeira parte é
tfrac563-tfrac343=tfrac223

Passo 5

Agora a segunda integral:
integral4^6(x^2-3x-4),dx =l[tfracx^33-tfrac3x^22-4xr]4^6
Em x=6 obtemos
tfrac6^33-tfrac3cdot6^22-4cdot6 =72-54-24=-6,
e em x=4
tfrac4^33-tfrac3cdot4^22-4cdot4 =tfrac643-24-16 =-tfrac563
Assim a segunda parte é
(-6)-l(-tfrac563r) =-6+tfrac563 =tfrac383

Passo 6

Somando as duas partes:
tfrac223+tfrac383 =tfrac603 =20

Resposta

20

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