1. Esboce o traço da curva x(t)=t^3+3 t^2+2 t e y(t)=3-2 t-t^2, com -3 <= t <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva paramétrica
x(t)=t^3+3t^2+2t, y(t)=3-2t-t^2,
no intervalo -3<= t<=1.
O conteúdo é “curvas paramétricas”: vamos precisar calcular pontos relevantes (início, fim, pontos médios), ver se há auto-interseções e analisar as tangentes (derivadas) para entender a forma e a orientação da curva.

Passo 2

Calculemos alguns pontos-chave para montar o esboço:
Para t=-3:
x(-3)=(-3)^3+3(-3)^2+2(-3)=-27+27-6=-6, y(-3)=3-2(-3)-(-3)^2=3+6-9=0
Ponto (-6,0).
Para t=-2:
x(-2)=-8+12-4=0, y(-2)=3+4-4=3,
Ponto (0,3).
Para t=-1:
x(-1)=-1+3-2=0, y(-1)=3+2-1=4,
Ponto (0,4).
Para t=0:
x(0)=0, y(0)=3,
Ponto (0,3) de novo.
Para t=1:
x(1)=1+3+2=6, y(1)=3-2-1=0,
Ponto (6,0).

Passo 3

Vimos que (0,3) ocorre em t=-2 e em t=0. Isso significa que a curva se auto-intersecta em (0,3). Entre esses dois instantes ela sobe até (0,4) em t=-1 e depois desce de volta a (0,3).

Passo 4

Vamos achar as derivadas para entender as tangentes:
x'(t)=3t^2+6t+2, y'(t)=-2-2t=-2(1+t)
Tangente horizontal quando y'(t)=0implies t=-1; de fato em t=-1 a curva atinge o máximo y=4.
Tangente vertical quando x'(t)=0, ou seja
3t^2+6t+2=0implies t=-1pmraiz33approx -1,577,,-0,423
Nestes t há trechos em que a curva “vira” quase verticalmente.

Passo 5

Com tudo isso, o esboço fica assim (orientado do t=-3 para t=1):
  • Parte inicial em (-6,0).
  • Sobe até (0,3) em t=-2, continua subindo até (0,4) em t=-1 (tangente horizontal).
  • Desce de volta cruzando em (0,3) em t=0, formando uma auto-interseção.
  • Finalmente desce/inclina até (6,0) em t=1.
    As tangentes verticais ocorrem perto de tapprox-1,577 e tapprox-0,423, dando “viradas” na forma do traço.

Resposta

Esboce os pontos (-6,0), (0,3), (0,4), (0,3) (auto-interseção) e (6,0); una-os segundo a orientação crescente de t, passando por mandiçoba acima do eixo x com máximo em (0,4) e retornando até (6,0), indicando tangente horizontal em (0,4) e tangentes verticais próximas aos valores de t achados.

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