- Esboce o traço da curva
e
, com
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva paramétrica
no intervalo
.
O conteúdo é “curvas paramétricas”: vamos precisar calcular pontos relevantes (início, fim, pontos médios), ver se há auto-interseções e analisar as tangentes (derivadas) para entender a forma e a orientação da curva.
O conteúdo é “curvas paramétricas”: vamos precisar calcular pontos relevantes (início, fim, pontos médios), ver se há auto-interseções e analisar as tangentes (derivadas) para entender a forma e a orientação da curva.
Passo 2
Calculemos alguns pontos-chave para montar o esboço:
Para :
Para
Ponto
.
Para :
Para
Ponto
.
Para :
Para
Ponto
.
Para :
Para
Ponto
de novo.
Para :
Para
Ponto
.
Passo 3
Vimos que
ocorre em
e em
. Isso significa que a curva se auto-intersecta em
. Entre esses dois instantes ela sobe até
em
e depois desce de volta a
.
Passo 4
Vamos achar as derivadas para entender as tangentes:
Tangente horizontal quando
; de fato em
a curva atinge o máximo
.
Tangente vertical quando , ou seja
Tangente vertical quando
Nestes
há trechos em que a curva “vira” quase verticalmente.
Passo 5
Com tudo isso, o esboço fica assim (orientado do
para
):
- Parte inicial em
. - Sobe até
em , continua subindo até em (tangente horizontal). - Desce de volta cruzando em
em , formando uma auto-interseção. - Finalmente desce/inclina até
em .
As tangentes verticais ocorrem perto dee , dando “viradas” na forma do traço.
Resposta
Esboce os pontos
,
,
,
(auto-interseção) e
; una-os segundo a orientação crescente de
, passando por mandiçoba acima do eixo
com máximo em
e retornando até
, indicando tangente horizontal em
e tangentes verticais próximas aos valores de
achados.