Calcular as integrais definidas.
integral1^3(x-2x)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de
integral1^3l(x-tfrac2xr)^2,dx
O conteúdo envolvido é a integração de potências de x (integrais do tipo x^n) e de potências negativas (integrais do tipo x^-2). Vamos usar a expansão do quadrado e depois aplicar as regras de potência para obter a primitiva.

Passo 2

Expandimos o integrando usando a fórmula (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2 com a=x e b=2/x:
l(x-tfrac2xr)^2 = x^2 - 2cdot xcdottfrac2x + l(tfrac2xr)^2 = x^2 - 4 + tfrac4x^2

Passo 3

Agora integramos termo a termo. Sabemos que
integral x^2,dx = tfracx^33, integral (-4),dx = -4x, integral tfrac4x^2,dx = 4integral x^-2,dx = 4l(-x^-1r) = -tfrac4x
Logo, uma primitiva geral é
F(x) = tfracx^33 ;-; 4x ;-; tfrac4x

Passo 4

Aplicamos o teorema fundamental do cálculo, avaliando F em 3 e em 1 e subtraindo:
F(3) = tfrac273 - 4cdot3 - tfrac43 = 9 - 12 - tfrac43 = -3 - tfrac43 = -tfrac133,
F(1) = tfrac13 - 4cdot1 - tfrac41 = tfrac13 - 4 - 4 = tfrac1 - 243 = -tfrac233
Portanto,
integral1^3l(x-tfrac2xr)^2dx = F(3) - F(1) = -tfrac133 - l(-tfrac233r) = tfrac103

Resposta

dfrac103

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