Considere a integral iterada integral0^2 integralx^2^4 raizy sen(y) d y d x.
(a) Esboce a região de integração.
(b) Mude a ordem de integração e calcule a integral.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada integral0^2integralx^2^4raizy,sen(y),dy,dx. O conteúdo envolvido é integração dupla em coordenadas cartesianas, mudança de ordem de integração e, por fim, cálculo de uma integral por partes.

Passo 2

A região de integração é dada por 0<= x<=2 e x^2<= y<=4. Isso corresponde ao conjunto de pontos no primeiro quadrante abaixo da reta y=4, acima da parábola y=x^2, entre as retas x=0 e x=2.

Passo 3

Para inverter a ordem, observamos que y varia entre o mínimo da parábola (quando x=0) e 4, ou seja, 0<= y<=4. Para cada y fixo, x varia desde a curva x=0 até x=raizy.

Passo 4

Reescrevendo a integral trocando a ordem e integrando primeiro em x:
integral0^2integralx^2^4raizy,sen(y),dy,dx =integral0^4integral0^raizyraizy,sen(y),dx,dy =integral0^4l(raizy,sen(y)r)l(integral0^raizydxr),dy =integral0^4y,sen(y),dy

Passo 5

Para calcular integral0^4y,sen(y),dy, aplicamos integração por partes. Seja u=y e dv=sen(y),dy. Então du=dy e v=-cos(y). Assim:
integral y,sen(y),dy=-ycos(y)+integralcos(y),dy=-ycos(y)+sin(y)+C

Passo 6

Fazendo os limites de 0 a 4, temos:
integral0^4y,sen(y),dy=l[-ycos(y)+sin(y)r]0^4=-4cos(4)+sin(4)-l(0+0r)=-4cos(4)+sin(4)

Resposta

-4 \cos(4) + \sin(4)

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