Considere a integral iterada
.
(a) Esboce a região de integração.
(b) Mude a ordem de integração e calcule a integral.
(a) Esboce a região de integração.
(b) Mude a ordem de integração e calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
. O conteúdo envolvido é integração dupla em coordenadas cartesianas, mudança de ordem de integração e, por fim, cálculo de uma integral por partes.
Passo 2
A região de integração é dada por
e
. Isso corresponde ao conjunto de pontos no primeiro quadrante abaixo da reta
, acima da parábola
, entre as retas
e
.
Passo 3
Para inverter a ordem, observamos que
varia entre o mínimo da parábola (quando
) e 4, ou seja,
. Para cada
fixo,
varia desde a curva
até
.
Passo 4
Reescrevendo a integral trocando a ordem e integrando primeiro em
:
Passo 5
Para calcular
, aplicamos integração por partes. Seja
e
. Então
e
. Assim:
Passo 6
Fazendo os limites de 0 a 4, temos:
Resposta
-4 \cos(4) + \sin(4)