(a) Esboce o sólido
que está abaixo do cone
, acima do plano
e dentro do cilindro
.
(b) Use coordenadas cilíndricas para escrever a integral iterada da função
no sólido
dado no item (a).
(b) Use coordenadas cilíndricas para escrever a integral iterada da função
Passo 1
O enunciado pede (a) o esboço do sólido
definido por
– abaixo do cone ,
– acima do plano (isto é,
),
– e dentro do cilindro .
Em seguida, no item (b), precisamos usar coordenadas cilíndricas para escrever a integral tripla de sobre esse sólido. Vamos, portanto, identificar a projeção de
no plano
, converter as fronteiras em coordenadas cilíndricas e montar a integral com o jacobiano apropriado.
– abaixo do cone
– acima do plano
– e dentro do cilindro
Em seguida, no item (b), precisamos usar coordenadas cilíndricas para escrever a integral tripla de
Passo 2
Na projeção no plano
, o cilindro
escreve-se em cilíndricas como
com
e
. Logo a região projetada é o disco em coordenadas
com
Geometricamente,
é o “cone” de vértice na origem, recortado lateralmente por esse cilindro e apoiado em
.
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas usamos
A função fica
Os limites de integração para
vêm de
.
Passo 4
Reunindo tudo, a integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas é