(a) Esboce o sólido W que está abaixo do cone z=raizx^2+y^2, acima do plano x y e dentro do cilindro x^2+y^2=6 y.
(b) Use coordenadas cilíndricas para escrever a integral iterada da função f(x, y, z)=x y+z no sólido W dado no item (a).

Passo 1

O enunciado pede (a) o esboço do sólido W definido por
– abaixo do cone z=raizx^2+y^2,
– acima do plano xy (isto é, z>=0),
– e dentro do cilindro x^2+y^2=6y.
Em seguida, no item (b), precisamos usar coordenadas cilíndricas para escrever a integral tripla de f(x,y,z)=xy+z sobre esse sólido. Vamos, portanto, identificar a projeção de W no plano xy, converter as fronteiras em coordenadas cilíndricas e montar a integral com o jacobiano apropriado.

Passo 2

Na projeção no plano xy, o cilindro
x^2+y^2=6y
escreve-se em cilíndricas como
r^2=6rsintheta Longrightarrow r=6sintheta,
com r>=0 e sintheta>=0. Logo a região projetada é o disco em coordenadas (r,theta) com
0<=theta<=pi, 0<= r<=6sintheta
Geometricamente, W é o “cone” de vértice na origem, recortado lateralmente por esse cilindro e apoiado em z=0.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas usamos
x = rcostheta, y = rsintheta, z=z, dV = r,dz,dr,dtheta
A função fica
f(x,y,z)=xy+z = rcostheta;l(rsinthetar)+z = r^2costhetasintheta + z
Os limites de integração para z vêm de 0<= z<= raizx^2+y^2=r.

Passo 4

Reunindo tudo, a integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas é
integraltheta=0^pi integralr=0^6sintheta integralz=0^r l(r^2costhetasintheta + zr);r;dz,dr,dtheta

Resposta

integral0^pi integral0^6sintheta integral0^r l(r^2costhetasintheta + zr),r,dz,dr,dtheta

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