Mostre que f(x)=4 x^5+3 x^3+3 x-2 tem exatamente uma raiz real.

Passo 1

Temos a função f(x)=4x^5+3x^3+3x-2. A missão é mostrar que ela tem exatamente uma raiz real. Para isso, vamos usar dois resultados: a monotonicidade via derivada e o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Calculamos a derivada
f'(x)=20x^4+9x^2+3
Observando que 20x^4>=0, 9x^2>=0 e o termo constante é 3, concluímos que f'(x)>0 para todo x. Logo, f é estritamente crescente em R.

Passo 3

Analisamos o comportamento nos extremos: limxto -inftyf(x)=-infty e limxto +inftyf(x)=+infty. Como f é contínua (é um polinômio), pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um ponto c tal que f(c)=0.

Passo 4

Como f é estritamente crescente, não pode interceptar o eixo x mais de uma vez. Portanto, essa raiz é única.

Resposta

A função f(x)=4x^5+3x^3+3x-2 possui exatamente uma raiz real.

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