Mostre que
tem exatamente uma raiz real.
Passo 1
Temos a função
. A missão é mostrar que ela tem exatamente uma raiz real. Para isso, vamos usar dois resultados: a monotonicidade via derivada e o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Calculamos a derivada
Observando que
,
e o termo constante é
, concluímos que
para todo
. Logo,
é estritamente crescente em
.
Passo 3
Analisamos o comportamento nos extremos:
e
. Como
é contínua (é um polinômio), pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um ponto
tal que
.
Passo 4
Como
é estritamente crescente, não pode interceptar o eixo
mais de uma vez. Portanto, essa raiz é única.
Resposta
A função
possui exatamente uma raiz real.