Calcular as integrais duplas:
\iint_{D} x \operatorname{sen} y d x d y \quad D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 0 \leq x \leq \pi, 0 \leq y \leq x\right\}

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
\iint_{D} x\sin y \,dx\,dy,
onde D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0\le x\le\pi,\;0\le y\le x\}. O conteúdo envolve integrais duplas e o Teorema de Fubini para escrever como integral iterada.

Passo 2

Escrevemos a integral como iterada, integrando primeiro em y:
I = \iint_{D} x\sin y \,dx\,dy = \int_{x=0}^{\pi}\Bigl(\int_{y=0}^{x} x\sin y \,dy\Bigr)\,dx.

Passo 3

Calcular a integral interna em y, tratando x como constante:
\int_{0}^{x} x\sin y \,dy = x\bigl[-\cos y\bigr]_{0}^{x} = x\bigl(-\cos x + \cos0\bigr) = x\,(1 - \cos x).

Passo 4

Substituindo no integral externa e separando os termos:
I = \int_{0}^{\pi} x\,(1 - \cos x)\,dx = \int_{0}^{\pi} x\,dx \;-\;\int_{0}^{\pi} x\cos x\,dx.

Passo 5

Calcular cada uma:
\int_{0}^{\pi} x\,dx = \bigl[\tfrac{x^2}{2}\bigr]_{0}^{\pi} = \tfrac{\pi^2}{2},
\int_{0}^{\pi} x\cos x\,dx \quad\text{(por partes, com \(u=x\), \(dv=\cos x\,dx\))}\\ = \bigl[x\sin x + \cos x\bigr]_{0}^{\pi} = (\pi\sin\pi + \cos\pi) - (0\cdot\sin0 + \cos0) = -1 - 1 = -2.

Passo 6

Logo
I = \tfrac{\pi^2}{2} \;-\;(-2) = \tfrac{\pi^2}{2} + 2.

Resposta

\dfrac{\pi^2}{2} + 2.

Exercícios relacionados