Verifique se as funções abaixo possuem ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
f(x, y)=3 x^{2}+4 x y+2 y^{2}-16 x-12 y

Passo 1

Resumindo, queremos estudar a função
f(x,y)=3x^2+4xy+2y^2-16x-12y
para encontrar pontos críticos e classificá-los em máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso, vamos usar o gradiente \nabla f para achar os pontos críticos e a matriz Hessiana para aplicar o teste de segunda derivada.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=6x+4y-16, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=4x+4y-12.
Igualamos ambas a zero para achar os pontos críticos:
\begin{cases} 6x+4y-16=0,\\\\ 4x+4y-12=0. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo o sistema
\begin{cases} 6x+4y=16,\\\\ 4x+4y=12, \end{cases}
subtraindo a segunda da primeira temos 2x=4, logo x=2. Substituindo em 4x+4y=12 8+4y=12, isto é, y=1.
Assim o único ponto crítico é (2,1).

Passo 4

Formemos a matriz Hessiana de f, cujos elementos são as segundas derivadas parciais:
H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 4\\\\ 4 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 5

Aplicamos o teste de segunda derivada para funções de duas variáveis:
1. Calcule o determinante de H:
\det(H)=6\cdot4 - 4^2 =24-16=8>0.
2. Verifique f_{xx}=6>0.
Como \det(H)>0 e f_{xx}>0, a matriz Hessiana é definida positiva em (2,1), caracterizando um ponto de mínimo local.

Resposta

A função tem um único ponto crítico em (2,1), que é ponto de mínimo local.

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