Verifique se as funções abaixo possuem ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
f(x, y)=\mathrm{e}^{x / y}-5 x

Passo 1

O enunciado pede para achar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=\mathrm{e}^{x/y}-5x,
cujo domínio é dado por y\neq0. Vamos usar o método do gradiente (primeiras derivadas iguais a zero) e o teste da segunda derivada (determinante da matriz Hessiana) para decidir se um ponto crítico é máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f. Definindo u=x/y, temos
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{y}\,\mathrm{e}^{x/y}-5, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =-\frac{x}{y^{2}}\,\mathrm{e}^{x/y}.
O ponto crítico satisfaz
\frac{\partial f}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=0.

Passo 3

Da equação \partial f/\partial y=0 vem
-\frac{x}{y^{2}}\,\mathrm{e}^{x/y}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0
(since \mathrm{e}^{x/y}\neq0). Substituindo x=0 em \partial f/\partial x=0
\frac{1}{y}\,\mathrm{e}^{0}-5=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y}-5=0 \quad\Longrightarrow\quad y=\tfrac15.
Logo o único ponto crítico é \bigl(0,\tfrac15\bigr).

Passo 4

Agora computamos as segundas derivadas para formar a matriz Hessiana H. As derivadas são
f_{xx} =\frac{1}{y^{2}}\mathrm{e}^{x/y}, \quad f_{xy} =-\frac{x+y}{y^{3}}\mathrm{e}^{x/y}, \quad f_{yy} =\mathrm{e}^{x/y}\Bigl(\frac{2x}{y^{3}}+\frac{x^{2}}{y^{4}}\Bigr).
No ponto \bigl(0,\tfrac15\bigr) temos
f_{xx}=25, \quad f_{xy}=-25, \quad f_{yy}=0.
O determinante da Hessiana é
D =f_{xx}\,f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2} =25\cdot0-(-25)^{2} =-625<0.

Passo 5

Como D<0, o ponto crítico \bigl(0,\tfrac15\bigr) é um ponto de sela. Não há máximo nem mínimo locais.

Resposta

A função tem um único ponto crítico em \bigl(0,\tfrac15\bigr), que é ponto de sela.

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