Verifique se as funções abaixo possuem ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 1
O enunciado pede para achar e classificar os pontos críticos da função
cujo domínio é dado por
. Vamos usar o método do gradiente (primeiras derivadas iguais a zero) e o teste da segunda derivada (determinante da matriz Hessiana) para decidir se um ponto crítico é máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
. Definindo
, temos
O ponto crítico satisfaz
Passo 3
Da equação
vem
(since
). Substituindo
em
dá
Logo o único ponto crítico é
.
Passo 4
Agora computamos as segundas derivadas para formar a matriz Hessiana
. As derivadas são
No ponto
temos
O determinante da Hessiana é
Passo 5
Como
, o ponto crítico
é um ponto de sela. Não há máximo nem mínimo locais.
Resposta
A função tem um único ponto crítico em
, que é ponto de sela.