Calcular as integrais duplas:
\iint_{D} y d x d y \quad D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 0 \leq x \leq \pi, 0 \leq y \leq \operatorname{sen} x\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} y \,dx\,dy
em que
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0 \le x \le \pi,\;0 \le y \le \sin x\}.
O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas (Região tipo I) e vamos usar o Teorema de Fubini para escrever como integral iterada.

Passo 2

Pela definição de Região tipo I e Fubini, escrevemos
\iint_{D} y \,dx\,dy = \int_{x=0}^{\pi} \Bigl(\int_{y=0}^{\sin x} y \,dy\Bigr)\,dx.

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em y:
\int_{0}^{\sin x} y \,dy = \left[\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{0}^{\sin x} = \tfrac{1}{2}\bigl(\sin x\bigr)^{2}.

Passo 4

Substituindo na integral em x:
\iint_{D} y \,dx\,dy = \int_{0}^{\pi} \tfrac{1}{2}\sin^{2}x \,dx = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x \,dx.
Usamos a identidade trigonométrica
\sin^{2}x = \tfrac{1 - \cos(2x)}{2}
para obter
\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x \,dx = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\tfrac{1 - \cos(2x)}{2}\,dx = \tfrac{1}{4}\int_{0}^{\pi}\bigl(1 - \cos(2x)\bigr)\,dx.

Passo 5

Avaliamo-la explicitamente:
\tfrac{1}{4}\int_{0}^{\pi}\bigl(1 - \cos(2x)\bigr)\,dx = \tfrac{1}{4}\Bigl[x - \tfrac{\sin(2x)}{2}\Bigr]_{0}^{\pi} = \tfrac{1}{4}\bigl(\pi - 0\bigr) = \tfrac{\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}

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