Calcular as integrais duplas:
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o semicírculo de raio
acima do eixo
:
O conteúdo principal aqui é usar simetria para o termo em
e mudança para coordenadas polares para o termo em
.
Passo 2
Separamos a integral em duas partes lineares:
Passo 3
Para o primeiro termo, note que
é simétrico em relação ao eixo
. Como
troca pontos no semicírculo,
Logo
Passo 4
Para o segundo termo, usamos coordenadas polares:
com
e
. Assim
Calculamos separadamente:
Logo
Passo 5
Voltando à integral original, temos