Calcular as integrais duplas:
\iint_{D}(2 x-3 y) d x d y \quad D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2} \leq 9 \quad\right. e \left.\quad y \geq 0\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{D}(2x - 3y)\,dx\,dy
onde D é o semicírculo de raio 3 acima do eixo x:
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \le 9,\;y\ge0\}.
O conteúdo principal aqui é usar simetria para o termo em x e mudança para coordenadas polares para o termo em y.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes lineares:
\iint_{D}(2x - 3y)\,dA = 2\iint_{D} x\,dA \;-\; 3\iint_{D} y\,dA.

Passo 3

Para o primeiro termo, note que D é simétrico em relação ao eixo y. Como x\mapsto -x troca pontos no semicírculo,
\iint_{D} x\,dA = 0.
Logo
2\iint_{D} x\,dA = 0.

Passo 4

Para o segundo termo, usamos coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta,
com 0\le r\le3 e 0\le\theta\le\pi. Assim
\iint_{D} y\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{3}(r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta \int_{0}^{3}r^{2}\,dr.
Calculamos separadamente:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = 2, \qquad \int_{0}^{3}r^{2}\,dr = \frac{3^{3}}{3} = 9.
Logo
\iint_{D} y\,dA = 2 \times 9 = 18.

Passo 5

Voltando à integral original, temos
\iint_{D}(2x - 3y)\,dA = 0 \;-\; 3 \times 18 = -54.

Resposta

-54

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