determine (F(s)) ou (f(t)), conforme indicado.
\mathscr{L}{(3 t+1) \mathscr{U}(t-1)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de (3t+1)\,\mathscr{U}(t-1). O conteúdo aqui é a teoria da transformada de Laplace com deslocamento (Teorema do deslocamento no tempo), que diz que, se quisermos
\mathcal{L}\{f(t)\,\mathscr{U}(t-a)\},
podemos escrever t = u + a e obter um fator e^{-a s} multiplicando a transformada de f(u+a) em u\ge0.

Passo 2

Aplicamos o Teorema do deslocamento com a=1. Definimos u = t-1, de modo que t = u+1 e u\ge0. Então
f(t) = 3t + 1 \quad\Longrightarrow\quad f(u+1) = 3(u+1) + 1 = 3u + 4.
Logo
\mathcal{L}\{(3t+1)\,\mathscr{U}(t-1)\} = e^{-1\cdot s}\,\mathcal{L}\bigl\{3u+4\bigr\}.

Passo 3

Agora calculamos a transformada de \,3u+4 (para u\ge0):
\mathcal{L}\{3u+4\} = 3\,\mathcal{L}\{u\} + 4\,\mathcal{L}\{1\} = 3\cdot\frac{1}{s^{2}} + 4\cdot\frac{1}{s} = \frac{3}{s^{2}} + \frac{4}{s}.

Passo 4

Juntando o fator e^{-s} do deslocamento com o resultado acima, temos
\mathcal{L}\{(3t+1)\,\mathscr{U}(t-1)\} = e^{-s}\,\Bigl(\frac{3}{s^{2}} + \frac{4}{s}\Bigr).

Resposta

F(s) = e^{-s}\,\Bigl(\frac{3}{s^{2}} + \frac{4}{s}\Bigr).

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