determine (F(s)) ou (f(t)), conforme indicado.
\mathscr{L}{\cos 2 t \mathscr{U}(t-\pi)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função \cos 2t \,\mathscr{U}(t-\pi). O conteúdo aqui é a propriedade de mudança de origem (uso do degrau de Heaviside).

Passo 2

Pela definição de Laplace, escrevemos
\mathscr{L}\{\cos 2t \,\mathscr{U}(t-\pi)\} = \int_{\pi}^{\infty} \cos 2t\,e^{-st}\,dt.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável u = t-\pi, de modo que t = u + \pi. Assim, t=\pi vira u=0 e t\to\infty vira u\to\infty. Isto dá
\int_{\pi}^{\infty} \cos 2t\,e^{-st}\,dt = \int_{0}^{\infty} \cos\bigl(2(u+\pi)\bigr)\,e^{-s(u+\pi)}\,du.

Passo 4

Usamos
\cos\bigl(2(u+\pi)\bigr)=\cos(2u+2\pi)=\cos2u \quad\text{e}\quad e^{-s(u+\pi)}=e^{-s\pi}\,e^{-su}.
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\int_{0}^{\infty}\cos\bigl(2(u+\pi)\bigr)\,e^{-s(u+\pi)}\,du = e^{-s\pi}\int_{0}^{\infty}\cos2u\,e^{-su}\,du.

Passo 5

A integral
\int_{0}^{\infty} \cos 2u \, e^{-su} \, du
é a transformada padrão de \cos 2t e vale
\frac{s}{s^2 + 4}

Passo 6

Combinando os fatores, obtemos
\mathscr{L}\{\cos 2t \,\mathscr{U}(t-\pi)\} = e^{-s\pi}\,\frac{s}{s^2 + 4}.

Resposta

\mathscr{L}\{\cos 2t \,\mathscr{U}(t-\pi)\} = e^{-\pi s}\,\frac{s}{s^2 + 4}.

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