Calcular as integrais duplas:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{3 y^{2}}\left(e^{y^{3}}\right) d x d y.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{3y^{2}}e^{y^{3}}\;dx\;dy.
O conteúdo aqui é aplicação do Teorema de Fubini para integrais duplas e integração de uma função que depende só de y. O plano é:
  1. integrar em x tratando y como constante;
  2. depois integrar o resultado em y, usando substituição.

Passo 2

Como e^{y^{3}} não depende de x, temos
\int_{0}^{3y^{2}}e^{y^{3}}\;dx = e^{y^{3}}\int_{0}^{3y^{2}}dx = e^{y^{3}}\bigl[\,x\bigr]_{0}^{3y^{2}} =3y^{2}e^{y^{3}}.

Passo 3

Agora calculamos
\int_{0}^{1}3y^{2}e^{y^{3}}\;dy.
Fazemos a substituição u=y^{3}, logo du=3y^{2}dy. Quando y=0, u=0; quando y=1, u=1. Assim
\int_{0}^{1}3y^{2}e^{y^{3}}dy =\int_{0}^{1}e^{u}\,du =\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} =e-1.

Resposta

e - 1

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