Calcular a integral
\iint_{R}(2 x+6) d A, no retângulo R=\{(x, y): 0 \leq x \leq 2 e 0 \leq y \leq 6\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla da função f(x,y)=2x+6 sobre o retângulo
R = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 2,\;0\le y \le 6\}.
O conteúdo aqui é o uso do Teorema de Fubini para escrever a integral dupla como uma integral iterada e avaliar passo a passo.

Passo 2

Pela continuidade de f em R, podemos aplicar Fubini e escrever
\iint_{R}(2x+6)\,dA =\int_{y=0}^{6}\!\int_{x=0}^{2}(2x+6)\,dx\,dy.

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em x:
\int_{x=0}^{2}(2x+6)\,dx =\int_{0}^{2}2x\,dx+\int_{0}^{2}6\,dx =\bigl[x^2\bigr]_{0}^{2} + 6\bigl[x\bigr]_{0}^{2} =4 + 12 =16.

Passo 4

Agora integramos o resultado em y:
\int_{y=0}^{6}16\,dy =16\bigl[y\bigr]_{0}^{6} =16\cdot6 =96.

Resposta

96

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