Resolva pelo Método da Variação dos Parâmetros.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o Método da Variação dos Parâmetros. Esse método é utilizado para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares não homogêneas. Para isso, vamos precisar conhecer as soluções da equação homogênea associada e entender um pouco sobre como aplicar os parâmetros variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente, que é
. Essa equação é mais fácil de lidar e suas soluções vão nos ajudar a encontrar a solução geral da equação original.
Passo 3
Para resolver
, encontramos os valores característicos da equação. Montamos a equação característica:
Resolvendo para
:
Isso nos diz que as soluções da equação homogênea são funções trigonométricas.
Passo 4
Com as raízes
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos para o Método da Variação dos Parâmetros. Nesse método, assumimos que as constantes
e
na solução homogênea são, na verdade, funções de
. Ou seja, escrevemos a solução particular
como:
onde
e
são funções que precisamos determinar.
Passo 6
Para encontrar
e
, derivamos
e impomos algumas condições. Vamos derivar
:
E novamente:
Para simplificar, assumimos que:
Isso facilita os cálculos e nos leva a um sistema de equações para encontrar
e
.
Passo 7
Substituindo
e
na equação original
, e usando a condição que impusemos, chegamos à seguinte equação:
Agora, temos um sistema de duas equações:
Passo 8
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
. Multiplicamos a primeira equação por
e a segunda por
e somamos:
Simplificando:
No entanto, uma maneira mais fácil é usar determinantes. Aplicando a regra de Cramer, encontramos:
Passo 9
Agora, integramos
e
para encontrar
e
:
Como estamos buscando uma solução particular, podemos ignorar as constantes de integração.
Passo 10
Substituímos
e
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 11
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea
e da solução particular
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: