Resolva pelo Método da Variação dos Parâmetros.
y'' + y = cosec(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o Método da Variação dos Parâmetros. Esse método é utilizado para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares não homogêneas. Para isso, vamos precisar conhecer as soluções da equação homogênea associada e entender um pouco sobre como aplicar os parâmetros variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente, que é . Essa equação é mais fácil de lidar e suas soluções vão nos ajudar a encontrar a solução geral da equação original.

Passo 3

Para resolver , encontramos os valores característicos da equação. Montamos a equação característica:
Resolvendo para :
Isso nos diz que as soluções da equação homogênea são funções trigonométricas.

Passo 4

Com as raízes , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos para o Método da Variação dos Parâmetros. Nesse método, assumimos que as constantes e na solução homogênea são, na verdade, funções de . Ou seja, escrevemos a solução particular como:
onde e são funções que precisamos determinar.

Passo 6

Para encontrar e , derivamos e impomos algumas condições. Vamos derivar :
E novamente:
Para simplificar, assumimos que:
Isso facilita os cálculos e nos leva a um sistema de equações para encontrar e .

Passo 7

Substituindo e na equação original , e usando a condição que impusemos, chegamos à seguinte equação:
Agora, temos um sistema de duas equações:

Passo 8

Vamos resolver esse sistema para encontrar e . Multiplicamos a primeira equação por e a segunda por e somamos:
Simplificando:
No entanto, uma maneira mais fácil é usar determinantes. Aplicando a regra de Cramer, encontramos:

Passo 9

Agora, integramos e para encontrar e :
Como estamos buscando uma solução particular, podemos ignorar as constantes de integração.

Passo 10

Substituímos e na expressão de :
Simplificando:

Passo 11

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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