Calcular as integrais :
i) integralraiz2 / 2^1 arcsen t d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de arcsin(t) no intervalo de raiz22 até 1. Isso envolve cálculo integral, especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a integração por partes e os limites de integração que a gente tem.

Passo 2

Primeiro, lembrando rapidinho: a integração por partes é uma técnica que usamos quando temos o produto de duas funções e queremos integrar isso. A fórmula dela é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Então, vamos escolher nossas funções u e dv. Aqui, vamos deixar u = arcsin(t) e dv = dt. Assim, precisamos calcular du e v.

Passo 3

Calculando du: sabemos que a derivada de arcsin(t) é 1raiz1 - t^2, então:
du = 1raiz1 - t^2 , dt
E para v, como dv = dt, integramos e temos:
v = t

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
integral arcsin(t) , dt = t cdot arcsin(t) - integral t cdot 1raiz1 - t^2 , dt
Ficou uma integral mais simples para resolver: integral traiz1 - t^2 , dt.

Passo 5

Para resolver integral traiz1 - t^2 , dt, vamos fazer uma substituição simples. Seja u = 1 - t^2, então du = -2t , dt, o que significa que - 12 du = t , dt. Substituindo na integral:
integral traiz1 - t^2 , dt = -12 integral 1raizu , du = -12 cdot 2raizu + C = -raiz1 - t^2 + C

Passo 6

Voltando à nossa integração por partes:
integral arcsin(t) , dt = t cdot arcsin(t) - ( -raiz1 - t^2 ) + C = t cdot arcsin(t) + raiz1 - t^2 + C

Passo 7

Agora, vamos aplicar os limites de integração de raiz22 até 1:
[ t cdot arcsin(t) + raiz1 - t^2 ]raiz22^1
Vamos calcular para t = 1 e t = raiz22 separadamente.
Para t = 1:
1 cdot arcsin(1) + raiz1 - 1^2 = 1 cdot pi2 + 0 = pi2
Para t = raiz22:
raiz22 cdot arcsin(raiz22) + raiz1 - (raiz22)^2 = raiz22 cdot pi4 + raiz1 - 12 = raiz2pi8 + raiz22

Passo 8

Subtraindo os valores:
pi2 - ( raiz2pi8 + raiz22 ) = pi2 - raiz2pi8 - raiz22 = 4pi8 - raiz2pi8 - 4raiz28 = (4 - raiz2)pi - 4raiz28

Resposta

A integral de arcsin(t) de raiz22 até 1 é:
(4 - raiz2)pi - 4raiz28

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