Um tanque, com água, tem a forma de um cone circular reto, com vértice apontando para baixo. Se a profundidade da camada de água tende a metade da altura do tanque, o volume de água no tanque aproxima-se de algum valor? Qual valor? Exprima isto, matematicamente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um tanque em forma de cone circular reto, com o vértice apontando para baixo. Queremos descobrir qual será o volume de água quando a profundidade da água for metade da altura total do tanque. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria relacionados ao volume de cones e proporções.

Passo 2

Vamos começar lembrando a fórmula do volume de um cone. O volume de um cone é dado por:
onde:
  • é o raio da base do cone,
  • é a altura do cone.
No nosso caso, o tanque é um cone com altura total e raio da base .

Passo 3

Quando adicionamos água ao tanque, a água também forma um cone, mas menor, com altura e raio . Como os dois cones são semelhantes (têm a mesma forma), as proporções entre seus respectivos raios e alturas são iguais. Ou seja:
Isso significa que:

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula do volume do cone de água:
Então, o volume de água em função da altura é:

Passo 5

Queremos saber qual é o volume quando a profundidade da água tende a metade da altura do tanque, ou seja, quando tende a . Para isso, substituímos por na expressão de :

Resposta

Quando a profundidade da água é metade da altura do tanque, o volume de água no tanque é:

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