Um tanque, com água, tem a forma de um cone circular reto, com vértice apontando para baixo. Se a profundidade da camada de água tende a metade da altura do tanque, o volume de água no tanque aproxima-se de algum valor? Qual valor? Exprima isto, matematicamente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um tanque em forma de cone circular reto, com o vértice apontando para baixo. Queremos descobrir qual será o volume de água quando a profundidade da água for metade da altura total do tanque. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria relacionados ao volume de cones e proporções.
Passo 2
Vamos começar lembrando a fórmula do volume de um cone. O volume
de um cone é dado por:
onde:
-
é o raio da base do cone, -
é a altura do cone.
No nosso caso, o tanque é um cone com altura total
e raio da base
.
Passo 3
Quando adicionamos água ao tanque, a água também forma um cone, mas menor, com altura
e raio
. Como os dois cones são semelhantes (têm a mesma forma), as proporções entre seus respectivos raios e alturas são iguais. Ou seja:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, substituímos
na fórmula do volume do cone de água:
Então, o volume de água em função da altura
é:
Passo 5
Queremos saber qual é o volume quando a profundidade da água tende a metade da altura do tanque, ou seja, quando
tende a
. Para isso, substituímos
por
na expressão de
:
Resposta
Quando a profundidade da água é metade da altura do tanque, o volume de água no tanque é: