Teste a série quanto a convergência ou divergência
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente testar se a série
converge ou diverge. Isso envolve conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Série Alternada ou o Teste do Termo Geral. Vamos precisar entender o comportamento dos termos dessa série conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento do termo geral da série, que é
. O fator
indica que a série é alternada, ou seja, os sinais dos termos mudam de positivo para negativo e vice-versa.
Passo 3
Vamos olhar para o termo
. Sabemos que
pode ser expandido em uma série de Taylor, e para valores pequenos de
, temos
. Então, para
, quando
é grande,
.
Passo 4
Assim, o termo geral fica aproximadamente
. Agora, vamos verificar o limite desse termo quando
tende ao infinito:
Como
tende a 0 quando
cresce, o limite simplifica para:
Passo 5
O limite de
não existe porque ele oscila entre 1 e -1 conforme
aumenta. Ou seja, não há um valor único para o limite quando
vai para o infinito.
Passo 6
O Teste do Termo Geral nos diz que, se o limite do termo geral da série não for zero, a série diverge. Como no nosso caso o limite não existe (não é zero), podemos concluir que a série não converge.
Resposta
A série
diverge.