Teste a série quanto a convergência ou divergência
(e) sumn=1^infty(-1)^n-1 e^2n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente testar se a série sumn=1^infty(-1)^n-1 e^2n converge ou diverge. Isso envolve conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Série Alternada ou o Teste do Termo Geral. Vamos precisar entender o comportamento dos termos dessa série conforme aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do termo geral da série, que é (-1)^n-1 e^2n. O fator (-1)^n-1 indica que a série é alternada, ou seja, os sinais dos termos mudam de positivo para negativo e vice-versa.

Passo 3

Vamos olhar para o termo e^2n. Sabemos que e^x pode ser expandido em uma série de Taylor, e para valores pequenos de e^x approx 1 + x, temos e^2n approx 1 + 2n. Então, para , quando é grande, .

Passo 4

Assim, o termo geral fica aproximadamente (-1)^n-1 (1 + 2n). Agora, vamos verificar o limite desse termo quando limn to infty (-1)^n-1 (1 + 2n) tende ao infinito:
limn to infty (-1)^n-1 cdot 1 = limn to infty (-1)^n-1
Como tende a 0 quando cresce, o limite simplifica para:

Passo 5

O limite de (-1)^n-1 não existe porque ele oscila entre 1 e -1 conforme aumenta. Ou seja, não há um valor único para o limite quando vai para o infinito.

Passo 6

O Teste do Termo Geral nos diz que, se o limite do termo geral da série não for zero, a série diverge. Como no nosso caso o limite não existe (não é zero), podemos concluir que a série não converge.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n-1 e^2n diverge.

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