Um tanque, com água, tem a forma de um cone circular reto, com vértice apontando para baixo. O raio da base do cone é igual a 9 metros e sua altura é de 27 metros. Exprima o volume de água no tanque como função da altura da camada de água dentro do mesmo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tanque em forma de cone com a base de raio 9 metros e altura 27 metros. A pergunta é: como calcular o volume da água dentro desse tanque em função da altura da água, ou seja, se a água está até uma certa altura . Para isso, vamos usar conceitos de geometria de cones e um pouquinho de álgebra para montar a função que relaciona e o volume .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular o volume de um cone. A fórmula geral é:
Aqui, é o raio da base do cone e é a altura.

Passo 3

No nosso caso, o tanque tem raio de base metros e altura total metros. Porém, queremos encontrar o volume da água quando ela está até uma altura no cone. Para isso, vamos imaginar que a água também forma um cone dentro do tanque.

Passo 4

Como os dois cones (o do tanque e o da água) são semelhantes, podemos relacionar os raios e as alturas deles usando proporcionalidade. A relação fica assim:
Onde é o raio da superfície da água.

Passo 5

Substituindo os valores que conhecemos:
Resolvendo para :

Passo 6

Agora que temos em termos de , podemos substituir na fórmula do volume do cone da água:

Passo 7

Vamos simplificar a equação:

Resposta

A função que expressa o volume da água no tanque em função da altura é:

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