Um tanque, com água, tem a forma de um cone circular reto, com vértice apontando para baixo. O raio da base do cone é igual a 9 metros e sua altura é de 27 metros. Exprima o volume de água no tanque como função da altura da camada de água dentro do mesmo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tanque em forma de cone com a base de raio 9 metros e altura 27 metros. A pergunta é: como calcular o volume da água dentro desse tanque em função da altura da água, ou seja, se a água está até uma certa altura
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria de cones e um pouquinho de álgebra para montar a função que relaciona
e o volume
.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular o volume de um cone. A fórmula geral é:
Aqui,
é o raio da base do cone e
é a altura.
Passo 3
No nosso caso, o tanque tem raio de base
metros e altura total
metros. Porém, queremos encontrar o volume da água quando ela está até uma altura
no cone. Para isso, vamos imaginar que a água também forma um cone dentro do tanque.
Passo 4
Como os dois cones (o do tanque e o da água) são semelhantes, podemos relacionar os raios e as alturas deles usando proporcionalidade. A relação fica assim:
Onde
é o raio da superfície da água.
Passo 5
Substituindo os valores que conhecemos:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora que temos
em termos de
, podemos substituir na fórmula do volume do cone da água:
Passo 7
Vamos simplificar a equação:
Resposta
A função que expressa o volume da água no tanque em função da altura
é: