Calcular as integrais impróprias, caso sejam convergentes.
integral3^+infty(d xx^2+9)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral3^+inftydxx^2+9
O conteúdo da matéria é integração de funções racionais do tipo 1x^2+a^2 e o conceito de integral imprópria definido por limite. Vamos usar a primitiva conhecida
integral dxx^2+a^2 = 1aarctan!l(tfracxar)+C
e depois aplicar o limite quando o extremo superior tende a +infty.

Passo 2

Comparamos com a forma 1x^2+a^2 e vemos que a^2=9, logo a=3. Assim a primitiva é
integral dxx^2+9 = 13arctan!l(tfracx3r) + C

Passo 3

Escrevemos a integral imprópria como limite:
integral3^+inftydxx^2+9 = limbto+inftyintegral3^bdxx^2+9 = limbto+inftyl[13arctan!l(tfracx3r)r]3^b

Passo 4

Calculamos o valor do limite:
limbto+infty13arctan!l(tfracb3r) = 13cdotpi2 = pi6,
e no ponto x=3 temos
13arctan!l(tfrac33r) = 13cdotpi4 = pi12
Subtraindo, resulta
pi6-pi12=pi12

Resposta

pi12

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