Exercício 1. Determine uma equação para o plano tangente à superfície no ponto especificado.
z=(x+2)^2-2(y-1)^2-5 em(2,3,3).

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida por
z = (x+2)^2 - 2(y-1)^2 - 5
e pede a equação do plano tangente a essa superfície no ponto (2,3,3).
Como a superfície está escrita na forma z = f(x,y), vamos usar a fórmula do plano tangente:
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) ;+; fy(x0,y0),(y - y0),
onde fx e fy são as derivadas parciais de f.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de
f(x,y) = (x+2)^2 - 2(y-1)^2 - 5
A derivada parcial em relação a x é
fx(x,y) = partialpartial xl[(x+2)^2r] ;=; 2,(x+2),
e em relação a y é
fy(x,y) = partialpartial yl[-2(y-1)^2r] ;=; -4,(y-1)

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas no ponto (x0,y0)=(2,3):
fx(2,3) = 2,(2+2) = 2cdot4 = 8,
fy(2,3) = -4,(3-1) = -4cdot2 = -8

Passo 4

Usando a fórmula do plano tangente com (x0,y0,z0)=(2,3,3), temos
z - 3 = 8,(x - 2) ;+; (-8),(y - 3)
Podemos simplificar:
z - 3 = 8x -16 ;-;8y +24
z = 8x -8y +11

Resposta

A equação do plano tangente é
boxedz = 8x - 8y + 11

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