Exercício 3. Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização
da função naquele ponto.
em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é diferenciável em
e, a partir daí, encontrar sua linearização naquele ponto. O conteúdo envolvido é: existência e continuidade das derivadas parciais próximo ao ponto (que garantem diferenciabilidade) e, depois, uso da fórmula da aproximação linear
onde
.
Passo 2
Para garantir diferenciabilidade de
em
basta notar que
é o produto de
(função polinomial em
) por
(função diferenciável em
, já que
). As derivadas parciais existem em um vizinho desse ponto e são combinações de funções contínuas, logo são contínuas ali. Portanto
é diferenciável em
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 4
Agora avaliamos em
. Como
temos
. Logo
Passo 5
Também precisamos de
:
Passo 6
Substituindo na fórmula da linearização,
Expandindo,
Resposta
A função é diferenciável em
porque suas derivadas parciais existem e são contínuas ali. Sua linearização naquele ponto é