Exercício 3. Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L(x, y) da função naquele ponto.
f(x, y)=y tan (x) em (pi / 4,2).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f(x,y)=ytan(x) é diferenciável em l(pi/4,2r) e, a partir daí, encontrar sua linearização naquele ponto. O conteúdo envolvido é: existência e continuidade das derivadas parciais próximo ao ponto (que garantem diferenciabilidade) e, depois, uso da fórmula da aproximação linear
L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b),
onde (a,b)=(pi/4,2).

Passo 2

Para garantir diferenciabilidade de f em l(pi/4,2r) basta notar que f(x,y) é o produto de y (função polinomial em y) por tan(x) (função diferenciável em x=pi/4, já que cos(pi/4)neq0). As derivadas parciais existem em um vizinho desse ponto e são combinações de funções contínuas, logo são contínuas ali. Portanto f é diferenciável em l(pi/4,2r).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f:
fx(x,y)=partialpartial xl[ytan(x)r] =ysec^2(x),
fy(x,y)=partialpartial yl[ytan(x)r] =tan(x)

Passo 4

Agora avaliamos em l(pi/4,2r). Como sec(pi/4)=raiz2 temos sec^2(pi/4)=2. Logo
fxl(tfracpi4,2r) =2cdot2=4, fyl(tfracpi4,2r) =tanl(tfracpi4r)=1

Passo 5

Também precisamos de fl(pi/4,2r):
fl(tfracpi4,2r) =2tanl(tfracpi4r) =2cdot1 =2

Passo 6

Substituindo na fórmula da linearização,
L(x,y) =2+4l(x-tfracpi4r)+1cdot(y-2)
Expandindo,
L(x,y) =2+4x-pi+y-2 =4x+y-pi

Resposta

A função é diferenciável em l(pi/4,2r) porque suas derivadas parciais existem e são contínuas ali. Sua linearização naquele ponto é
L(x,y)=4x+y-pi

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