Exercício 3. Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L(x, y) da função naquele ponto.
f(x, y)=x^3 y^2 em (-2,1).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x,y)=x^3y^2
é diferenciável no ponto (-2,1) e, em seguida, encontrar sua linearização L(x,y) nessa mesma base. O conteúdo envolvido é o de diferenciabilidade de funções de duas variáveis e o cálculo de aproximação linear via derivadas parciais.

Passo 2

Para uma função de duas variáveis ser diferenciável num ponto, basta que suas derivadas parciais existam num entorno desse ponto e sejam contínuas ali. Como f(x,y)=x^3y^2 é um polinômio em x e y, suas derivadas parciais existem em todo R^2 e são funções polinomiais (logo contínuas). Portanto, f é diferenciável em (-2,1).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f:
fx(x,y)=partialpartial xl(x^3y^2r) =3x^2y^2,
fy(x,y)=partialpartial yl(x^3y^2r) =2x^3y

Passo 4

Agora avaliamos f, fx e fy no ponto (a,b)=(-2,1):
f(-2,1)=(-2)^3cdot1^2=-8,
fx(-2,1)=3cdot(-2)^2cdot1^2=3cdot4=12,
fy(-2,1)=2cdot(-2)^3cdot1=2cdot(-8)=-16

Passo 5

A linearização de f em (a,b) é dada por
L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b),(x-a)+fy(a,b),(y-b)
Substituindo (a,b)=(-2,1) e os valores acima,
L(x,y)=-8+12,(x+2)-16,(y-1)
Podemos simplificar essa expressão:
L(x,y)=-8+12x+24-16y+16 =12x-16y+32

Resposta

A função é diferenciável em (-2,1) porque é um polinômio em x e y (suas derivadas parciais existem e são contínuas).
A linearização é
L(x,y)=12x-16y+32

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