Exercício 3. Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização
da função naquele ponto.
em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é diferenciável no ponto
e, em seguida, encontrar sua linearização
nessa mesma base. O conteúdo envolvido é o de diferenciabilidade de funções de duas variáveis e o cálculo de aproximação linear via derivadas parciais.
Passo 2
Para uma função de duas variáveis ser diferenciável num ponto, basta que suas derivadas parciais existam num entorno desse ponto e sejam contínuas ali. Como
é um polinômio em
e
, suas derivadas parciais existem em todo
e são funções polinomiais (logo contínuas). Portanto,
é diferenciável em
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 4
Agora avaliamos
,
e
no ponto
:
Passo 5
A linearização de
em
é dada por
Substituindo
e os valores acima,
Podemos simplificar essa expressão:
Resposta
A função é diferenciável em
porque é um polinômio em
e
(suas derivadas parciais existem e são contínuas).
A linearização é
A linearização é