Exercício 2. Dado que uma função f é diferenciável, f(2,5)=6, fx(2,5)=1 e fy(2,5)=-1, use uma aproximação linear para estimar f(2.2,4.6).
Solução: A equação do plano tangente é
L(x, y):=z=6+x-2-y-5
Portanto
L(2.2,4.6)=6+2.2-2-4.6-5=-3.4

Passo 1

O enunciado pede estimar o valor de f(2.2,4.6) usando aproximação linear, ou seja, o plano tangente a f em (2,5). Como a função é diferenciável nesse ponto e conhecemos
f(2,5)=6, fx(2,5)=1, fy(2,5)=-1,
vamos usar a fórmula do plano tangente para fazer a aproximação.

Passo 2

A fórmula do plano tangente em (2,5) é
L(x,y)=f(2,5)+fx(2,5),(x-2)+fy(2,5),(y-5)
Substituindo os valores conhecidos, obtemos
L(x,y)=6 + 1cdot(x-2) + (-1)cdot(y-5)
e, ao simplificar,
L(x,y)=6 + x - 2 - y + 5 = 9 + x - y

Passo 3

Agora avaliamos em (x,y)=(2.2,4.6):
L(2.2,4.6)=9 + 2.2 - 4.6 = 9 - 2.4 = 6.6

Resposta

Aproximadamente,
f(2.2,4.6)approx 6.6

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