Usando a transformada de Laplace, resolver o problema de valor inicial (PVI).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando a Transformada de Laplace. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: , com as condições iniciais e . Para isso, vamos precisar saber como aplicar a Transformada de Laplace em derivadas e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
E sabemos que:
Lsin(t) = 1s^2 + 1
Então, aplicando a transformada na equação:
2 Ly'' + Ly = 3 Lsin(t)
Substituindo:
2 (s^2 Y(s) - s cdot 1 - 1) + Y(s) = 3s^2 + 1
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para 2 s^2 Y(s) - 2 s - 2 + Y(s) = 3s^2 + 1 . Distribuindo o 2:
(2 s^2 + 1) Y(s) = 2 s + 2 + 3s^2 + 1
Juntando os termos com Y(s) = 2 s + 22 s^2 + 1 + 3(2 s^2 + 1)(s^2 + 1) :
Isolando :
Passo 4
Vamos simplificar a expressão de Y(s) = 2 s + 22 s^2 + 1 + 3(2 s^2 + 1)(s^2 + 1) e depois aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar 2 s + 22 s^2 + 1 = 2(s + 1)2 s^2 + 1 = 2(s + 1)2(s^2 + 12) = s + 1s^2 + 12 .
Primeiro, vamos decompor em frações parciais:
3(2 s^2 + 1)(s^2 + 1) = A s + B2 s^2 + 1 + C s + Ds^2 + 1
Simplificando a primeira fração:
Y(s) = s + 1s^2 + 12 + -s + 1s^2 + 1
E para a segunda fração, usamos frações parciais:
Resolvendo, encontramos os valores de A, B, C e D. Após calcular, obtemos:
Passo 5
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que: