Calcular as integrais impróprias seguintes (ou determinar sua divergência).

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral imprópria
integral0^3dx(x-1)^2,
que tem ponto de descontinuidade em x=1. O conteúdo usado será o de integrais impróprias do tipo II (singularidade interna), e precisaremos dividir o intervalo em torno de x=1.

Passo 2

Dividimos a integral em duas parcelas, aproximando-nos de 1 pelos dois lados:
integral0^3dx(x-1)^2 =limato1^-integral0^adx(x-1)^2 +limbto1^+integralb^3dx(x-1)^2

Passo 3

Calculamos a primitiva de 1(x-1)^2:
integraldx(x-1)^2 =-(x-1)^-1+C =-1x-1+C
Na primeira parcela:
integral0^adx(x-1)^2 =l[-1x-1r]0^a =-1a-1 -l(-10-1r) =-1a-1-1
Tomando ato1^-, temos a-1to0^- e -1a-1to+infty. Logo
limato1^-integral0^adx(x-1)^2=+infty

Passo 4

Como a primeira parcela diverge para +infty, a integral completa também diverge, independentemente do comportamento da segunda parcela.

Resposta

A integral diverge (não converge para um valor finito).

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