Calcular as integrais impróprias seguintes (ou determinar sua divergência).
integral-infty^infty d xx^2+4 x+9

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral-infty^inftydxx^2+4x+9
O conteúdo principal envolve integrar uma função racional no eixo real, completando o quadrado no denominador e usando a fórmula conhecida
integral-infty^inftyduu^2+a^2 = pia

Passo 2

Vamos completar o quadrado em x^2+4x+9. Escrevemos
x^2+4x+9 = (x^2+4x+4)+5 = (x+2)^2+5

Passo 3

Fazemos a substituição u = x+2. Então du = dx e, quando xto -infty, uto -infty; quando xtoinfty, utoinfty. A integral vira
integral-infty^inftydx(x+2)^2+5 = integral-infty^inftyduu^2+5

Passo 4

Reconhecemos a forma padrão com a^2=5, ou seja, a=raiz5. Logo, pela fórmula
integral-infty^inftyduu^2+a^2 = pia,
temos
integral-infty^inftyduu^2+5 = piraiz5

Resposta

boxedpiraiz5

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