Investigue a convergêng das integrais seguintes.
integralpi2^infty sen xx^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da integral imprópria
integralpi2^inftysin xx^2,dx
O conteúdo aqui é teste de convergência de integrais impróprias, em particular usando comparação e convergência absoluta.

Passo 2

Como não há problema no limite inferior x=pi/2, a impropriedade vem de xtoinfty. Para verificar convergência absoluta, analisamos
integralpi2^inftyl|sin xx^2r|,dx =integralpi2^infty|sin x|x^2,dx
Sabendo que |sin x|<=1, temos
|sin x|x^2<=1x^2

Passo 3

A integral
integralpi2^infty1x^2,dx
é convergente, pois é uma p-integral com p=2>1. Pelo teste de comparação, segue que
integralpi2^infty|sin x|x^2,dx
também converge. Logo a integral original converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A integral converge absolutamente e, consequentemente, converge.

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