Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
ointgamma ln (1+y) d x-x y1+y^2 d y, onde gamma é o triângulo de vértices (0,0),(2,0) e (0,4) R:-4

Passo 1

Vamos usar o Teorema de Green para converter a integral de linha
ointgamma ln(1+y),dx ;-;x,y1+y,dy
numa integral dupla sobre a região D interior ao triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (0,4). Aqui tomamos
P(x,y)=ln(1+y), Q(x,y)=-x,y1+y

Passo 2

Pelo Teorema de Green vale
ointgammaP,dx+Q,dy =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x =-y1+y, partial Ppartial y =11+y
Logo o integrando fica
partial Qpartial x-partial Ppartial y =-y1+y-11+y =-y+11+y =-1

Passo 3

A integral dupla reduz-se a
integral duplaD(-1),dA =-integral duplaD1,dA =-l(área de Dr) á
O triângulo tem base 2 (de (0,0) a (2,0)) e altura 4, logo
área(D)=2cdot42=4 á

Passo 4

Substituindo,
ointgammaln(1+y),dx-x,y1+y,dy =-l(área(D)r) =-4 á

Resposta

-4

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