Calcular as integrais impróprias seguintes (ou determinar sua divergência).
integral0^1 d xx^3-5 x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^1dxx^3-5x^2
ou determinar sua divergência. O ponto crítico está em x=0, onde o denominador zera. Para resolver essa integral imprópria vamos usar o limite em varepsilonto0^+, decomposição em frações parciais e antiderivada.

Passo 2

Como há singularidade em x=0, reescrevemos
integral0^1dxx^3-5x^2 =limvarepsilonto0^+integralvarepsilon^1dxx^2(x-5)

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
1x^2(x-5) =Ax+Bx^2+Cx-5
Multiplicando por x^2(x-5) e igualando coeficientes, obtemos
A=-125, B=-15, C=125
Logo
1x^2(x-5) =-1251x -151x^2 +1251x-5

Passo 4

Integramos termo a termo para achar uma antiderivada F(x):
integraldxx^3-5x^2 =-125ln|x| +15x +125ln|x-5| + C

Passo 5

A integral de varepsilon a 1 é F(1)-F(varepsilon). Para varepsilonto0^+ temos
F(1)=15+125ln4, F(varepsilon)=-125lnvarepsilon+15varepsilon+125ln5+o(1),
então
integralvarepsilon^1dxx^3-5x^2 =F(1)-F(varepsilon) sim -15varepsilon (varepsilonto0^+),
que tende a -infty. Logo a integral diverge.

Resposta

A integral é divergente (tende a -infty).

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