1. Determine o comprimento da curva r(t)=lang<= 2 t^3 / 2, cos 2 t, sen 2 trang<=, 0 <= t <= 1.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva dada por
r(t)=llang<= 2,t^3/2,;cos(2t),;sin(2t)rrang<=, 0<= t<=1
O conteúdo necessário é a fórmula de comprimento de arco para curvas vetoriais:
L=integrala^bl|r'(t)r|,dt

Passo 2

Vamos calcular a derivada componente a componente:
ddtl(2,t^3/2r) =2cdot32,t^1/2=3,t^1/2,
ddtl(cos(2t)r) =-2,sin(2t),
ddtl(sin(2t)r) =2,cos(2t)
Logo,
r'(t)=llang<= 3raizt,;-2sin(2t),;2cos(2t)rrang<=

Passo 3

Agora calculamos a norma de r'(t):
l|r'(t)r| =raiz(3raizt)^2+(-2sin(2t))^2+(2cos(2t))^2 =raiz9t+4l(sin^2(2t)+cos^2(2t)r) =raiz9t+4

Passo 4

Substituindo na fórmula de comprimento de arco, obtemos
L=integral0^1raiz9t+4,dt

Passo 5

Para resolver a integral, façamos a substituição
u=9t+4, du=9,dt, dt=du9
Quando t=0 vem u=4 e quando t=1 vem u=13. Assim,
L =integralu=4^u=13raizu,du9 =19integral4^13u^1/2,du =19cdotu^3/2tfrac32g|4^13 =227l[(13)^3/2-(4)^3/2r]
Como 13^3/2=13raiz13 e 4^3/2=8, fica
L=227l(13raiz13-8r)

Resposta

L=227l(13raiz13-8r)

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