Calcular as integrais indefinidas.
\int \frac{d x}{(a x)^{2}+a^{2}}, a \neq 0, constante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \r
\int \frac{dx}{(a x)^2 + a^2} \r
onde a \neq 0 é uma constante. \r
Para resolver, vamos usar a técnica de fatorar constantes e a fórmula \r \int \frac{du}{u^2 + 1} = \arctan(u) + C.

Passo 2

Observe que (a x)^2 + a^2 = a^2 (x^2 + 1), logo \r
\int \frac{dx}{(a x)^2 + a^2}\r = \int \frac{dx}{a^2 (x^2 + 1)}\r = \frac{1}{a^2} \int \frac{dx}{x^2 + 1}

Passo 3

Como \int \frac{dx}{x^2 + 1} = \arctan(x) + C, substituindo, obtemos \r
\int \frac{dx}{(a x)^2 + a^2}\r = \frac{1}{a^2} \arctan(x) + C

Resposta

\frac{1}{a^2} \arctan(x) + C

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