Calcular as integrais indefinidas.
\int \frac{x^{2}-1}{x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de função racional. Vamos usar a técnica de decomposição por divisão de polinômios e depois aplicar a integral de \frac{1}{x^{2}+1}.

Passo 2

Reescrevemos o numerador de modo a separar uma parte que simplifica com o denominador. Observamos que
x^{2}-1 = (x^{2}+1) - 2.
Logo,
\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1} = \frac{(x^{2}+1)-2}{x^{2}+1} = 1 - \frac{2}{x^{2}+1}.

Passo 3

Agora a integral se separa em duas partes conhecidas:
\int \frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\,dx = \int 1\,dx \;-\; 2 \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 4

Calculamos cada integral:
\int 1\,dx = x,
e sabemos que
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan(x).
Portanto,
\int \frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\,dx = x \;-\; 2\,\arctan(x) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\int \frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\,dx = x - 2\arctan(x) + C.

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