Calcular as integrais indefinidas.
\int(x-1)^{2}(x+1)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int (x-1)^{2}(x+1)^{2}\,dx.
Esse tipo de problema envolve, primeiro, expandir o integrando para obter um polinômio e, em seguida, integrar termo a termo usando a regra de potência.

Passo 2

Expandindo o produto dos quadrados, obtemos
(x-1)^{2}(x+1)^{2} = (x^{2} - 2x + 1)(x^{2} + 2x + 1) = x^{4} - 2x^{2} + 1

Passo 3

Integramos termo a termo aplicando a regra de potência: \displaystyle \int x^{4}dx = \frac{x^{5}}{5}, \displaystyle \int -2x^{2}dx = -\frac{2x^{3}}{3} e \displaystyle \int 1\,dx = x.

Passo 4

Somando os resultados e adicionando a constante de integração C, concluímos que
\int (x-1)^{2}(x+1)^{2}\,dx = \frac{x^{5}}{5} - \frac{2x^{3}}{3} + x + C

Resposta

\displaystyle \frac{x^{5}}{5} - \frac{2x^{3}}{3} + x + C

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