Calcular as integrais indefinidas.
\int \frac{8 x^{4}-9 x^{3}+6 x^{2}-2 x+1}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{8x^{4}-9x^{3}+6x^{2}-2x+1}{x^{2}}\,dx.
O conteúdo necessário envolve reescrever a função como soma de potências de x (divisão de polinômio por x^2) e depois aplicar a regra de potência \int x^n\,dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1 e a regra \int x^{-1}\,dx = \ln|x|.

Passo 2

Dividimos cada termo do numerador por x^2 para obter uma soma de potências:
\frac{8x^{4}-9x^{3}+6x^{2}-2x+1}{x^{2}} =8x^{2}-9x+6-2x^{-1}+x^{-2}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
\int 8x^{2}\,dx = \frac{8}{3}x^{3},\quad \int (-9x)\,dx = -\frac{9}{2}x^{2},\quad \int 6\,dx = 6x,
\int (-2)x^{-1}\,dx = -2\ln|x|,\quad \int x^{-2}\,dx = -x^{-1}.

Passo 4

Somando tudo e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int \frac{8x^{4}-9x^{3}+6x^{2}-2x+1}{x^{2}}\,dx = \frac{8}{3}x^{3} - \frac{9}{2}x^{2} + 6x - 2\ln|x| - \frac{1}{x} + C.

Resposta

\frac{8}{3}x^{3} - \frac{9}{2}x^{2} + 6x - 2\ln|x| - \frac{1}{x} + C.

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