Calcule a área limitada:
por y=x^{4}-2 x^{2} e y=2 x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y = x^{4} - 2x^{2}
e
y = 2x^{2}.
O conteúdo principal é “área entre duas curvas” e vamos precisar de dois passos básicos: achar os pontos de interseção e integrar a diferença entre a função superior e a inferior.

Passo 2

Para encontrar as interseções, igualamos
x^{4} - 2x^{2} = 2x^{2}
que leva a
x^{4} - 4x^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}(x^{2}-4)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0,\\ \pm 2.

Passo 3

Precisamos saber qual curva está por cima entre x=-2 e x=2. Tomando, por exemplo, x=1:
y_{1}=1^{4}-2\cdot1^{2}=-1, \quad y_{2}=2\cdot1^{2}=2,
logo y=2x^{2} é a função superior e y=x^{4}-2x^{2} a inferior neste intervalo.

Passo 4

A área pedida é
\int_{-2}^{2}\bigl(2x^{2} - (x^{4}-2x^{2})\bigr)\,dx =\int_{-2}^{2}\bigl(4x^{2} - x^{4}\bigr)\,dx.
Como o integrando é par, usamos simetria e escrevemos
\text{Área} =2\int_{0}^{2}\bigl(4x^{2}-x^{4}\bigr)\,dx.Á

Passo 5

Calculando a integral:
\int_{0}^{2}4x^{2}\,dx =4\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} =4\cdot\frac{8}{3}=\frac{32}{3},
\int_{0}^{2}x^{4}\,dx =\left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{2} =\frac{32}{5}.
Portanto,
2\Bigl(\tfrac{32}{3}-\tfrac{32}{5}\Bigr) =2\cdot\frac{32\,(5-3)}{15} =\frac{128}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{128}{15}

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