Seja o campo vetorial: \vec{F}(x, y, z)=(z, x, y) e seja S a superfície do plano sobre o disco de raio 2 centrado na origem, ou seja: S=\left\{(x, y, 0) \mid x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}. A curva C é a borda desse disco, percorrida no sentido anti-horário visto de cima (orientação positiva). Sobre a situação em destaque, assinale a alternativa que apresenta o valor da integral de linha: \oint_{C} F . d r, usando o Teorema de Stokes.
a. 5 \pi.
b. 3 \pi.
C. \pi.
d. 2 \pi.
e. 4 \pi.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=(z,x,y), a superfície S que é o disco de raio 2 no plano z=0 e a curva C que é a borda desse disco orientada no sentido anti-horário visto de cima. A ideia é usar o Teorema de Stokes para avaliar
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = \iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\hat{n}\,dS.

Passo 2

Precisamos calcular o rotacional de \vec{F}. Escrevendo \vec{F}=(P,Q,R) com P=z, Q=x e R=y, empregamos
\nabla\times\vec{F} = \begin{pmatrix} \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \end{pmatrix} = (1,1,1).

Passo 3

No plano z=0 a normal unitária compatível com o sentido positivo de C (anti-horário visto de cima) é \hat{n}=(0,0,1). Pelo Teorema de Stokes:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = \iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\hat{n}\,dS.

Passo 4

Como (\nabla\times\vec{F})\cdot\hat{n}=(1,1,1)\cdot(0,0,1)=1 é constante, a integral de superfície é simplesmente a área do disco de raio 2, ou seja,
\iint_{S}1\,dS = \pi\cdot2^{2} = 4\pi.

Resposta

e) 4\pi

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