Seja o campo vetorial:
e seja
a superfície do plano sobre o disco de raio 2 centrado na origem, ou seja:
. A curva
é a borda desse disco, percorrida no sentido anti-horário visto de cima (orientação positiva). Sobre a situação em destaque, assinale a alternativa que apresenta o valor da integral de linha:
, usando o Teorema de Stokes.
a.
.
b.
.
C.
.
d.
.
e.
.
a.
b.
C.
d.
e.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
, a superfície
que é o disco de raio 2 no plano
e a curva
que é a borda desse disco orientada no sentido anti-horário visto de cima. A ideia é usar o Teorema de Stokes para avaliar
Passo 2
Precisamos calcular o rotacional de
. Escrevendo
com
,
e
, empregamos
Passo 3
No plano
a normal unitária compatível com o sentido positivo de
(anti-horário visto de cima) é
. Pelo Teorema de Stokes:
Passo 4
Como
é constante, a integral de superfície é simplesmente a área do disco de raio 2, ou seja,
Resposta
e)