Calcular as integrais indefinidas pelo método de integração por partes.
integral x sen(x2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x,sin!l(tfracx2r),dx
usando o método de integração por partes. Vamos usar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
escolhendo adequadamente u e dv.

Passo 2

Escolhemos
u = x, dv = sin!l(tfracx2r),dx
Então
du = dx e v = integral sin!l(tfracx2r),dx
Para achar v, usamos integral sin(a x),dx = -tfrac1acos(a x) com a=tfrac12, obtendo
v = -2cos!l(tfracx2r)

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
integral x,sin!l(tfracx2r),dx = u,v - integral v,du = xl(-2cos!tfracx2r) - integral l(-2cos!tfracx2r),dx
= -2xcos!l(tfracx2r) +2integral cos!l(tfracx2r),dx

Passo 4

Agora calculamos integral cos!l(tfracx2r),dx. De novo, com a=tfrac12,
integral cos!l(tfracx2r),dx = tfrac1asin!l(a xr) = 2sin!l(tfracx2r)
Substituindo na expressão,
-2xcos!l(tfracx2r) +2cdotl[2sin!l(tfracx2r)r] = -2xcos!l(tfracx2r) +4sin!l(tfracx2r) + C

Resposta

integral x,sin!l(tfracx2r),dx = -2xcos!l(tfracx2r) +4sin!l(tfracx2r) + C

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