Determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty(e^n3^n-1)^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
sumn=1^inftyl(e^n3^,n-1r)^n
Aqui o conteúdo principal é teste da raiz. Vamos usar o Critério da Raiz para séries de termos não negativos.

Passo 2

Denotemos an=l(e^n/3^,n-1r)^n. O Critério da Raiz diz que se
L=limntoinftyraiz[n]an
existe e L<1, então a série converge absolutamente.

Passo 3

Calculemos
raiz[n]an =raiz[n]l(e^n3^,n-1r)^n =e^n3^,n-1 =3l(e3r)^n

Passo 4

Como tfrace3<1, o fator l(e/3r)^n tende a zero quando ntoinfty. Logo
L=limntoinfty3l(e3r)^n=0<1

Passo 5

Pelo Critério da Raiz, como L<1, a série
sumn=1^inftyl(e^n3^,n-1r)^n
converge absolutamente.

Resposta

A série converge.

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